面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (621ﾚｽ)
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1(7): 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
省3
541: 11/11(火)15:57 ID:LleUh2kq(3/7) AAS
アレ？wolframで検算したら合ってたけど？
542: 11/11(火)15:59 ID:Xciw5HvP(2/2) AAS
538 の訂正
誤：x_k が奇数なら x_{k+1} = 2 x_k + 1
正：x_k が奇数なら x_{k+1} = 3 x_k + 1
543: 11/11(火)15:59 ID:VWbQVh26(1/3) AAS
>>540
ああすみませんPC表示だとπ^2の2が抜けてましたね...
544(1): 11/11(火)16:03 ID:LleUh2kq(4/7) AAS
exp の肩の値
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
545: 11/11(火)16:06 ID:VWbQVh26(2/3) AAS
>>544
細かくてすみませんが少しだけ惜しいです
最終的に求める極限は lim_{n→∞} q_n^{-2/n} と一致するので
その値そのものを二乗する必要がありますね
546: 11/11(火)16:08 ID:6gIzfNv9(1) AAS
と言うわけでexp(-π^2/(6log2))であれば大正解です！お疲れ様でした！
解いてくれてありがとうございます！
547: 11/11(火)16:10 ID:rc0e+SRx(1/5) AAS
解答のまとめはまた後で共有します！
548(1): 11/11(火)16:12 ID:LleUh2kq(5/7) AAS
アレ？ほんとですか？その2乗はどこから？
549: 11/11(火)16:15 ID:VWbQVh26(3/3) AAS
>>548
1/(q_n q_{n+2}) ≦ |x - [a_0; a_1,..., a_n|| ≦ 1/(q_n q_{n+1})
と評価できるので，q_n二回分ですね
550(1): 11/11(火)16:16 ID:LleUh2kq(6/7) AAS
アレ？私の計算だとそれに分子にqₙがかかったんですけど
551: 11/11(火)16:18 ID:rc0e+SRx(2/5) AAS
>>550
うーむそうはならないと思いますが
552: 11/11(火)16:28 ID:LleUh2kq(7/7) AAS
まぁも一回見返してみます
553: 11/11(火)16:31 ID:rc0e+SRx(3/5) AAS
了解です
それにしてもかなり素朴な極限なのにexp(-π^2/(6log2))が出てくるのは中々狂ってて良い
554(1): 11/11(火)17:25 ID:yWfMlKFh(1) AAS
実際にその極限になる実数とならない実数は例えば何？
555: 11/11(火)17:47 ID:rc0e+SRx(4/5) AAS
>>554
実は成立する実数はほとんど知られてません
例外はとりあえず有理数、二次の無理数(√2とか)、あとeもそうです
実はπが成り立つかどうかは未解決問題です
成り立つ定数を無理やり構成する方法があるらしいけど詳しくはないですね
556: 11/11(火)17:50 ID:rc0e+SRx(5/5) AAS
Mathlogで証明まとめた記事を作成中なのでその内載せます
557: 11/11(火)18:17 ID:aqQYuweP(1) AAS
aを正整数の定数とする。
ax/(a+x)が整数となる正整数xが存在するようなaをすべて求めよ。
558: 11/12(水)00:29 ID:+SEg4mQT(1) AAS
a > 1 → x = a²-a
559: 11/12(水)14:07 ID:+ltgbDYj(1/2) AAS
qₙ² だった orz
560(1): 11/12(水)23:51 ID:+ltgbDYj(2/2) AAS
実数 x に対して無理数度 i(x) を
i(x) := inf { k ; #{ (p,q) ; | x - p/q | < 1/q^k } < ∞ }
で定める。Lebesgue 測度においてほとんどすべての実数の無理数度は 2 であることを示せ。
561: 11/13(木)04:22 ID:ZK0eQA90(1/3) AAS
>>560
x = [a_0;a_1,…]
p_n/q_n := [a_0;a_1,…,a_n]
とする
連分数の基本事実から
|x -p_n/q_n| < 1/(a_{n+1} q_n^2)
=1/(q_n^(2+log(a_{n+1})/log(q_n)) )
省5
562: 11/13(木)04:26 ID:ZK0eQA90(2/3) AAS
ああなんか変だな
2より大きい個別の無理数度の測度が0しか言ってないのか
撤回します
563: 11/13(木)04:57 ID:ZK0eQA90(3/3) AAS
ああすみませんそもそも何も矛盾してねえわ
頭冷やしてきます
564(1): 11/15(土)14:49 ID:f8psMpxz(1/2) AAS
aを実数の定数とする。
実数x,yが-1≦x≦1かつ-1≦y≦1を満たすとき、
(x^2-axy+y^2)/(x^2+xy+y^2)
の取りうる値の範囲をaで表せ。、
565(2): 11/15(土)15:24 ID:nOE4hTfA(1) AAS
具体的に計算することが出来ない実数の例を1つ挙げなさい（配点5点）。
566(1): 11/15(土)15:30 ID:+RARlpD5(1/2) AAS
(x^2-axy+y^2)/(x^2+xy+y^2)
= -(1+a)xy/(x^2+xy+y^2) + 1
xy>0、-1≦x≦1かつ-1≦y≦1 での xy/(x^2+xy+y^2)/xy の値域は
xy/(x^2+xy+y^2) = 1/( (x/y) + 1 + (xy) ) より
0 < xy/(x^2+xy+y^2) ≦ 1/3
xy<0、-1≦x≦1かつ-1≦y≦1 での xy/(x^2+xy+y^2) の値域は
xy/(x^2+xy+y^2) = (-1)/( (-x/y) - 1 + (-xy) ) より
省3
567(1): 11/15(土)15:46 ID:ugKLCP76(1/4) AAS
>>564
(x,y)≠(0,0)
(x,y)=(x,0),(0,y)≠(0,0)
f=(x^2-axy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=1
x,y≠0
k=x^2+xy+y^2>0
f=(x^2-axy+y^2)/(x^2+xy+y^2)=(k-(a+1)xy)/k=1-(a+1)xy/k=1-(a+1)xy/(x^2+xy+y^2)=1-(a+1)/((x/y+1+y/x)
省12
568: 11/15(土)15:48 ID:ugKLCP76(2/4) AAS
>>565
>具体的に計算することが出来ない
？
569: 11/15(土)15:49 ID:ugKLCP76(3/4) AAS
>>567
>a≦-1 1≦f≦1-(a+1)/3, 1-(a+1)≦f
a<-1 1≦f≦1-(a+1)/3, 1-(a+1)≦f
a=-1 f=1
570: 11/15(土)15:51 ID:ugKLCP76(4/4) AAS
>>566
>0 < xy/(x^2+xy+y^2) ≦ 1/3
(x,y)=(1,-1)
xy/(x^2+xy+y^2)=-1<0
571: 11/15(土)16:01 ID:+RARlpD5(2/2) AAS
xy>0 においてって書いてあるやん
572: 11/15(土)21:23 ID:f8psMpxz(2/2) AAS
内接円の半径が1、外接円の半径が2.5、面積が6である三角形の3辺の長さを求めよ。
573: 11/15(土)21:45 ID:oHrfHyGk(1) AAS
>>565
π^(π^(π^π)))
574: 11/16(日)00:42 ID:8hCLebTL(1/2) AAS
3,4,5
575: 11/16(日)01:39 ID:vqFi0yQv(1) AAS
チャイティンのΩ
576(1): 11/16(日)03:52 ID:8hCLebTL(2/2) AAS
こんなの見つけた
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.kurims.kyoto-u.ac.jp
577: 11/16(日)05:02 ID:8vzjufz1(1) AAS
√2^(√2^√2)と(√2^√2)^√2はどちらが大きいか
578: 11/16(日)08:33 ID:+DLwhn1j(1) AAS
適当に好きな不等式を持ってきて最良の定数を求めさせればええやろ
579: 11/16(日)11:44 ID:HupTLVPD(1/2) AAS
内接円の半径がr、外接円の半径がR、面積がSの三角形はただ一通りに定まるか。
580: 11/16(日)12:22 ID:nsbkROaS(1/2) AAS
定まらない気がする
581: 11/16(日)12:27 ID:nsbkROaS(2/2) AAS
やっぱわからん
自分が定まらないと考えた理屈は間違ってた
582(1): 11/16(日)12:52 ID:JnLfiES0(1) AAS
内接円の半径をrとし、３つの角の半分をA',B',C' として
cotA' + cotB' + cotC' = S/r²
cotBcotC' + cotC'cotA' + cotA'cotB' = 1 + 4R/r
cotA'cotB'cotC' = S/r²
583: 11/16(日)20:56 ID:HupTLVPD(2/2) AAS
2n!/(n!)^2
が整数であることを、2nCnが組み合わせの数であるということを用いずに証明するにはどうしたら良いですか？
584: 11/16(日)21:43 ID:BOyzW7zS(1) AAS
>>582
A'+B'+C'=π/2？
t^3-(S/r^2)t^2+(1+4R/r)t-(S/r^2)=(t-cotA')(t-cotB')(t-cotC')？
なんか変ジャね？
585: 11/16(日)23:12 ID:jvBfhEs3(1) AAS
(2n以下のpᵉの倍数の個数)
=⌊2n/pᵉ⌋
≧⌊n/pᵉ⌋+⌊n/pᵉ⌋
=(n以下のpᵉの倍数の個数)+(2n以下のpᵉの倍数の個数)
586: 11/17(月)01:26 ID:qKq1d2A0(1) AAS
cotA'
= (1-tanB'tanC')/(tanB' + tanC')
= (cotB'cotC' - 1)/(cotB'+cotC')
∴ cotA'+cotB'+cotC' = cotA'cotB'cotC'
a = rcotB+rcotC, b = ...
∴ s = rcotA' + rcotB' + rcotC' = S/r
4R/r
省7
587: 11/18(火)13:48 ID:2b1V54Gg(1) AAS
2^√2
の定義を述べ、その定義の問題点を述べよ
というのが、京大特色入試（数学）の口頭試問であったらしいけど、高校数学の範囲内で回答するとしたら何が正解か分かりますか？
588: 11/18(火)14:06 ID:lsNbGlW6(1) AAS
正解はひとつじゃない
589: 11/18(火)16:50 ID:VK1piHyy(1) AAS
exp(√2 log(2))
590: 11/18(火)19:58 ID:hz2u9H1Z(1/2) AAS
大変長くなりましたが、やっと>>490の解答の記事が書けました
外部ﾘﾝｸ:mathlog.info
ガウス測度のエルゴード性の証明とかも載せてるので是非見てください
何か記事の不備があったら教えてほしいです
591: 11/18(火)20:07 ID:hz2u9H1Z(2/2) AAS
>>576
おーおもろい記事ありがとうございます
分子が負だと確かにエルゴード使えないけど解析する手法はあるのか
592(1): 11/19(水)18:24 ID:U2FbpJMW(1/2) AAS
エルゴード性の証明ないのでわ
593: 11/19(水)18:49 ID:F0ev/vnr(1) AAS
>>592
分かりにくくて申し訳ないんですが連分数の基本事項セクションの最後のツリーに載ってます
それなりに重くて長い証明なのでツリーでしまってあります
594: 11/19(水)22:08 ID:U2FbpJMW(2/2) AAS
見つけました。
595: 11/20(木)21:23 ID:pZ8onFZK(1) AAS
極限
lim[x→+0] {x^(√x)-(√x)^x}/sinx
を求めよ。
596: 11/20(木)22:28 ID:ylQJBgKc(1/2) AAS
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
597: 11/20(木)22:40 ID:kgvwQSuO(1) AAS
x∈[0,1]\Qの10進数表示を
0.a[0]a[1]a[2]…とする
極限lim[n→∞](1/n)Σ[k=0,n-1]a[k]
はルベーグ測度-a.e.x∈[0,1]\Qである定数に収束することを示し、その収束値を求めよ
598(1): 11/20(木)22:54 ID:ylQJBgKc(2/2) AAS
T(x) = 10x - ⌊10x⌋ とする
T⁻¹(0,a) = ∪(k/10, 10/k+a/10)
よりTは保測、U = (a/10ⁿ,(a+1)/10ⁿ)に対してTⁿ⁺¹(U) = [0,1]＼ℚ よりT はエルゴディック。
μ(E) = ∫[0,1]1_E(x)dx が保存積分
∴limTⁿ(x)/n = ∫[10x]dx (a.e.)
599: 11/20(木)22:57 ID:EOqULVgR(1) AAS
>>598
めちゃくちゃ速い
正解！！最後の積分は9/2になるはず
600(1): 11/22(土)02:17 ID:pPfgZvHg(1) AAS
△ABCの外側に3点P,Q,Rを、
△PABが正三角形となるように、
△QBCが正三角形となるように、
△RCAが正三角形となるように、
とる。このとき、
（1）△PQRの重心は必ず△ABCの周上または内部にあると言えるか。
（2）内心、外心、垂心の場合はどうか。
601(2): 11/24(月)08:39 ID:3h/TJgqO(1/2) AAS
AD‖BCである台形ABCD
AD=8 BC=12 AB=9 CD=10
この台形の面積がどうしても求まらん
AIに聞いても答えバラバラなんだけどどっか台形が成立しない要素とかあるんかな
602: 11/24(月)12:37 ID:yPkaTmf8(1) AAS
>>601
AIに頼らず自分で二次方程式を立てるべし
∠ABCが鈍角のときに台形になって
高さ＝(15√23)/8, 面積＝(75√23)/4
BCをx軸上においたときの座標は
A(-3/8, (15√23)/8), B(0, 0), C(12, 0), D(61/8, (15√23)/8)
603: 11/24(月)15:16 ID:D3OUspOu(1) AAS
二次方程式も必要だけど、めんどくさいところは一次方程式でね
604: 11/24(月)17:42 ID:3h/TJgqO(2/2) AAS
∠ABC鈍角になんのかよ・・・
先入観が怖いとよくわかりました
つか問題の図も嘘じゃねえかｗ
605: 11/24(月)18:04 ID:JdCctMZv(1) AAS
∠ABC鈍角の議論なしに上底<下底にだけ注意して
台形の平行四辺形部分を抜き取った三角形に対して
面積√{s(s-a)(s-b)(s-c)}の公式を使うと直ぐに高さが出せるよ
a,b,c= 4(=12-8), 9, 10
606(3): 11/25(火)11:37 ID:4f4iw1ZE(1) AAS
図が嘘系で面白いなと思ったのは
台形ABCDが問題に出てきて、いかにもABとCDが平行かのような図が下にあるが、ABとCDを平行と仮定すると解が存在せず、実際にはBCとDAが平行だったやつ
607(1): 11/25(火)16:56 ID:hdzH3Y9/(1/2) AAS
>>606
これとかどうでしょう？
これも嘘系だよね。
外部ﾘﾝｸ:www.youtube.com
608(1): 11/25(火)17:27 ID:8jvvLs7U(1) AAS
>>606
台形の辺の長さ |AB| |BC| |CD| |AD| が与えられたとき
平行四辺形でない限り
AD // BC xor AB // CD の2者択一ですよね
>>607
どの辺を底辺と見做すかだけの問題では
609(2): 11/25(火)17:31 ID:In5chLD8(1) AAS
4<3√2 って問題では
610(1): 11/25(火)17:50 ID:hdzH3Y9/(2/2) AAS
>>609
小学生は√2を知らないから問題ないんだろう
611: 11/25(火)17:50 ID:PorApkg4(1) AAS
>>610
16＜18で
612: 11/25(火)18:00 ID:J/QmoqGK(1) AAS
>>609
なるほど
>>608なんだけど、長さ情報 |AB| |BC| |CD| |AD| で4角形を組める時
(長さの条件: a < b + c + d
b < a + c + d
c < a + b + d
d < a + b + c を満たす)
省1
613: イナ ◆/7jUdUKiSM 11/25(火)18:36 ID:PNHNSnG1(1) AAS
前>>442
>>601
A(a,h)
B(0,0)
C(12,0)
D(a+8,h)とおくと、
a^2+h^2=81
省9
614: 11/25(火)20:32 ID:GTUP8q2k(1/3) AAS
>>600
(1)△PQRの重心 = △ABCの重心
(2)やってない
615: 11/25(火)20:39 ID:GTUP8q2k(2/3) AAS
複素平面でw:=exp(-i60°)
A=0, B=1, C=zとすると
P=w, Q=1+(z-1)w, R=z/w
△ABCの重心=(z+1)/e
△PQRの重心=(w+1+(z-1)w+z/w)/3 = (z(w+1/w)+w+1-w)/3 = (z+1)/3
616: 11/25(火)20:39 ID:GTUP8q2k(3/3) AAS
○
△ABCの重心=(z+1)/3
617: 11/25(火)21:46 ID:i0Bn2sMM(1) AAS
（1）半径1の円に外接する正六角形と正八角形の面積をそれぞれ求めよ。
（2）√2+√3とπの大小を比較せよ。ただし√2、√3、πの近似値は既知ではないとする。
618: 11/26(水)02:58 ID:QcCUhRMW(1) AAS
>>606
この問題だな
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
罠に引っかかると出てくる数値が中途半端な分数なのが惜しい
これが整数になったら引っかかる人かなり増えそう
619(1): 11/26(水)15:44 ID:0jU9cthC(1) AAS
整数係数の既約な多項式であって、
任意の素数を法として可約になる
ようなものはあるか？
620: 11/26(水)16:30 ID:fbcQn2zF(1) AAS
極限
lim[n→∞] (n^x)*{(Σ[k=0,n] 1/k!) - (1+1/n)^n}
が0でない実数に収束するような実数xを求めよ。
621: 11/26(水)16:59 ID:CmNJ1+pi(1) AAS
>>619
二次以上ならない
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