面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (401ﾚｽ)
上下前次1-新
1(5): 05/01(木)12:31 ID:gmHMkXUG(1) AAS
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 43問目
省3
321: 09/09(火)22:07 ID:YBobyKJG(1/2) AAS
f(1)=1+a+b+c
になってしまう
先頭の1を除いて考えて
γ=3/2
一意性を示すには
a+b+c は γ の一次関数である
ことをいえばよい
322: 09/09(火)22:10 ID:YBobyKJG(2/2) AAS
あ、整数の縛りがあったか
323: 09/09(火)23:22 ID:5QJSkWGE(3/4) AAS
a+b+c = f(1)-1 = (1^2 - 2・1-1)(1-γ)-1 = -3+2γ
γ = 2,1
324(1): 09/09(火)23:37 ID:5QJSkWGE(4/4) AAS
f(n) = Σ[k=1,n](k!)^2 が素数となる n は無限にあるか？
325: 09/10(水)20:52 ID:G0ue5EhB(1) AAS
kは正整数の定数、eは自然対数の底とする。
a[n]={1+(1/n)}^n
に対して、以下の極限を求めよ。
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
326: 09/11(木)00:28 ID:h38MyBig(1) AAS
f(k,t) := exp( (1/t + k) log( 1 + t/(1+kt) ) )
= e - et/2 + 1/24 e(12k+11)t^2 + o(t^2) ( t→0 )
lim[n→∞] (a[n]-a[n+k])/(a[n]-e)
= lim[t→0] (f(n,0) - f(n,k))/(f(n,0) - e )
= lim[t→0] (11/24 et^2 - 1/24 e(12k+11)t^2)/(- et/2 ) + o(t)
外部ﾘﾝｸ:ja.wolframalpha.com
327(1): 09/11(木)17:47 ID:FBPQUfKr(1) AAS
【整数問題】
何も書かれていない10cmものさしがある。
3箇所にだけ目盛りを振って、1cm〜10cmまでの全整数を測れるようにしたい。
これが不可能なことを示せ。
ヒントとして問題を言い換えると、
a+b+c+d=10としたとき、
{a,b,c,d,a+b,b+c,c+d,a+b+c,b+c+d,a+b+c+d}の10個の値が被ることなく1〜10の整数になるような
省1
328: 09/11(木)18:46 ID:r3ND9RN6(1) AAS
>>327
a+…+a+b+c+d≠55
329: 09/12(金)10:22 ID:Ri1jn8ej(1) AAS
瞬殺ｗ
330: 09/12(金)12:37 ID:k+DCpciA(1) AAS
平面上に半径1の円を、2つ以上の円が重ならないように自由に置いていく。ただし接することは認める。
いま、（1）（2）の場合に、平面上にn個の点を、以下の条件を満たすようにうまく配置できるか。
【条件】
半径1の円をどのように置いても、n個の点のうち少なくとも1つは円の外側に出る。
（1）n=4のとき
（2）n=10のとき
331: 09/12(金)20:50 ID:0bMneArb(1) AAS
x^2+xy+y^2=1
の条件下で、s=x+yおよびt=xyの多項式g(s,t)の最大値を与える(x,y)を(a,b)、最小値を与える(x,y)を(c,d)とおく。
(c,d)=(-a,-b)は成り立つか。
332: 09/12(金)23:52 ID:g4KYvI9F(1) AAS
>>324
これ答えあるんかなあ
素数p<20000くらいまで調べた感じmodで攻めるのは無理そう
常にあるnについての多項式で得られる整数の倍数になる線も考えたけど小さいnで素数になる率が高すぎる
333: 09/13(土)00:01 ID:m3ypxV51(1) AAS
g(s,t) = s+t は
(s,t,x,y) = (2/√3,1/3,1/√3,1/√3) のとき最大値、
(s,t,x,y) = (-1/2,-3/4,-1/4 ± √13/4,-1/4 ∓ √13/4)のとき最小値
334(1): 09/13(土)18:22 ID:15EaKNrN(1) AAS
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
は恒等的に定数ではないとする。
f(x,y)の最大値を与える(x,y)を(p,q)、最小値を与える(x,y)を(r,s)とおく。
省1
335: イナ ◆/7jUdUKiSM 09/14(日)19:42 ID:7Ym/yvH3(1) AAS
前>>285
>>334
A,Bのとりうる軌跡は長軸2√2,
短軸2√3/3の楕円.
0≦∠AOB≦π
∴-1≦cos∠AOB≦1
336: 09/16(火)14:20 ID:AqNEsaLH(1) AAS
335は誤りで読む価値もないので再出題します
【問題】
a,bを実数の定数とする。
実数x,yが
x^2+xy+y^2=1
を満たしながら動くとき、
f(x,y)=a(x+y)-bxy
省3
337: 09/17(水)18:03 ID:J87I+ufR(1) AAS
a,b,nは正の整数とする。
a^2+b^2=2^n
を満たす(a,b,n)の組をすべて求めよ。
338: 09/17(水)18:44 ID:PAYY6DOQ(1/2) AAS
(2^k,2^k,2^(2k+1)) (k : non negetive integer )
339: 09/17(水)23:38 ID:PAYY6DOQ(2/2) AAS
Find ∫_{0}^{∞} log(x+1/x)/(x⁴+1) dx .
340: 09/19(金)12:19 ID:A0BX3yKK(1) AAS
xyz空間において、xy平面上の円(x-2)^2+y^2=1,z=0をy軸の周りに1回転させてできる立体をKとする。
Kの表面上を点P(a,b,c)が動くとき、a+b+cが最大になる(a,b,c)の組は何組あるか。
341: 09/19(金)12:41 ID:MaenDR0i(1) AAS
この問題自体は解が1桁の整数なので
答えると続きの問題を投下するつもりとみた
スルーで
342: 09/19(金)13:21 ID:8HF96wgc(1) AAS
どうみても、ポエムは書けてもまともな出題は無理な人のポエムですね
343: 09/19(金)22:15 ID:aOXAub6Q(1) AAS
実数xに対し、<x>はxの小数部分を表す。
nがすべての正の整数を動くとき、<n√2>には最小値が存在しないことを証明せよ。
344: 09/19(金)22:29 ID:6jJcJDCl(1) AAS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:metaphor.ethz.ch
345(2): 09/22(月)21:23 ID:R9XN05tS(1) AAS
正三角形の中に、どの2つも重ならないように3つの円板を置く。
3つの円板の面積の合計が最大となる置き方を述べよ。
346: 09/22(月)23:00 ID:MhTV9Wct(1) AAS
^_^7
^_^
^_^
)
(
(
勘でひとつは内接円
347: 09/23(火)15:00 ID:tRpbWwM5(1/5) AAS
2円をC₁ C₂ とする。C₁ と C₂ の共有点は高々 1 個、C₁ と 三角形の周との共有点は高々２個だから併せて共有点は高々３個。共有点の個数の合計が２個以下なら共有点の個数を変えずに面積を増大させられる。よって最大値をとる配置においては共有点の個数の合計はちょうど３でなければならない。 C₂ と C₁、三角形の周との共有点の個数の合計も最大値をとる配置においてはちょうど３である。以上により
３角形の領域
y≧0,、x+y/√3 ≦ 1、-x+y/√3 ≦ 1
円の方程式
C₁ : (x-√3a + 1)² + (y-a)² = a²、C₂ : (x+√3b - 1)² + (y-b)² = b²
束縛条件
(a+b)² = (2-√3a-√3b)² + (a-b)²、0≦a≦1/√3、0≦b≦1/√3
省1
348: 09/23(火)15:00 ID:tRpbWwM5(2/5) AAS
外部ﾘﾝｸ:www.wolframalpha.com
349(1): 09/23(火)16:12 ID:rUJD65ms(1) AAS
方程式
x^2+px+1=0
x^2+px-1=0
がともに整数解を持つような有理数pをすべて求めよ。
350(1): 09/23(火)17:00 ID:tRpbWwM5(3/5) AAS
-p = (m^2+1)/m = (n^2-1)/n ( m,n ∈ℤ ) とおける。v が有限加法付置のとき v(m)>0 ⇒ v(m) = v(n)、v(n)>0 ⇒ v(m) = v(n) だから m = ±n が必要である。m=n のとき m^2+1 = m^2-1 であり解なし。m=-n のとき m^2+1 = -(m^2-1) により m^2 = 0 であり解なし。
..
しょうもな
351: 09/23(火)17:37 ID:oQPZR4zQ(1) AAS
>>350
間違っています
こんな高校数学レベルの問題にも解答できないんですね（笑）
352: 09/23(火)17:50 ID:tRpbWwM5(4/5) AAS
ああ、p=0か
353: 09/23(火)17:51 ID:tRpbWwM5(5/5) AAS
しょうもな
354: 09/23(火)19:52 ID:yC5hEdko(1) AAS
>>349は昔、高校数学スレで適当に考えた問題を連投しまくってた馬鹿。
あっちで相手にされなくなったので、ここで連投し始めた。
作問センスが全くないのに、自覚がないから始末が悪い。
355: 09/23(火)21:06 ID:0UHeqstL(1) AAS
誤植マジェマジェ問題文読んだら負けな糞問作成力はそこそこあると思うよ
356(1): 09/25(木)14:10 ID:o9EoOFyb(1) AAS
a^2+b^3=c^4
を満たす正の整数(a,b,c)は存在するか。
357: 09/25(木)15:56 ID:fKIn6h3A(1/2) AAS
>>356
(a,b,c)=(28,8,6)
358: 09/25(木)15:58 ID:fKIn6h3A(2/2) AAS
nは3以上の整数とする。
xの方程式x^n-3x+1=0とx^2-3x+1=0は共通の解を持たないことを示せ。
359: 09/25(木)16:20 ID:16fQifg1(1/2) AAS
解なし
京都大学の入試問題
x^6+y^4=9z^2
の解を使えば、負の数を含めた範囲では成り立つ
360: 09/25(木)16:22 ID:16fQifg1(2/2) AAS
あれっ、解あるんだ
GoogleAIは
フェルマーの定理により解なし
ソースは数検の公式X
って言ってたのに
361: 09/26(金)17:58 ID:FeHdZpfm(1) AAS
2以上の整数nに対して、
Σ[k=1,n] √k
は無理数であることを証明せよ。
362: 09/26(金)22:51 ID:M7/pjllS(1) AAS
tr(Σ[k: not square]√k = 0
363: 09/27(土)10:13 ID:UsSGsey5(1) AAS
平面z=ax+byの最大勾配を求めたい。
ベクトルでどうなりますか
364: 09/27(土)15:03 ID:5cjP7XC6(1) AAS
2項係数200Ｃ100を割りきる最大の2桁の素数を求めなさい
365: 09/27(土)15:38 ID:5M32mdGL(1) AAS
f(x)=x^2+x+1
とする。自然数nに対して、f(n)の下2桁の整数をa[n]で表す。
たとえばf(1)=3,a[1]=3,f(10)=111,a[10]=11,である。
n=1,2,...について、a[n]に現れない整数をすべて求めよ。
366: 09/29(月)09:33 ID:WQSb38GG(1) AAS
5つの箱が横一列に並んでいる
猫はその箱のひとつに入っていて、夜になると左右いずれかの箱に移動する
あなたは毎朝ひとつだけ箱の中身を調べることができる
猫が隠れている箱を遅くとも何日目の朝に見つけることができるか
367: 09/29(月)11:00 ID:hhzC6P4P(1) AAS
2次方程式
x^2+ax+b=0
が絶対値1の複素数解をもつという。
|a|+|b|の最小値を求めよ。
368: 09/29(月)16:04 ID:8xqOBJ1I(1) AAS
|α|=1, β = -t α ( t≧0 ) において
|a| + |b| = | 1 - tα | + | -t α | ≧ 1 - | tα | + | -t α | = 1
369(1): 09/30(火)16:15 ID:JMMQr/Y1(1) AAS
整数nを10進法表記したときの、その下二桁の数をa[n]とする。
たとえばa[356]=56、a[7]=7である。
cを2でも5でも割り切れない正整数とする。
a[cx]=1となる0以上の整数xが存在することを示せ。
370(2): 10/01(水)09:57 ID:l//9Q0Ks(1) AAS
φ(100)=40より c^40 ≡ 1 ( mod 100 )
371: 10/01(水)11:18 ID:D32rSgbV(1/2) AAS
>>370
ありがとうこざいます
簡潔すぎてxが存在することの証明になっているか理解できません
もう少し細かく書いていただくことはできませんか？
372: 369 10/01(水)11:18 ID:D32rSgbV(2/2) AAS
>>370
すいません、369です
373: 10/01(水)18:25 ID:Yyy3ZDwF(1) AAS
N∈ℕ、c∈ℤ、(c,N) = 1 ⇒ c^φ(n) ≡ 1 ( mod N ), where φ(x) is Euler tautient function.
374: イナ ◆/7jUdUKiSM 10/03(金)07:56 ID:1Gw/P+bk(1/2) AAS
>>345
三隅に均等な三円配置するよりは、中央に最大円を二隅にそのときの最大円を配置するのが面積は大きい.
おそらく最大かと.
375(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 10/03(金)08:08 ID:1Gw/P+bk(2/2) AAS
>>345
三隅に均等な三円配置するよりは、中央に最大円を二隅にそのときの最大円を配置するのが面積は大きい.
おそらく最大かと.
376(4): 10/03(金)10:46 ID:bmqpqiVe(1) AAS
n枚の100円玉と、n+1枚の500円玉を同時に投げる。
このとき、表が出た500円玉の枚数が、表が出た100円玉の枚数より多い確率を求めよ。
377: 10/03(金)14:28 ID:4bWPiNw/(1) AAS
京大やな
378: 10/03(金)15:56 ID:gw/M3cRO(1) AAS
>>376
イナさんが直感で答えて正解しそう
379: 10/04(土)10:08 ID:/0bpi6od(1) AAS
(1-【同数となる確率】)/2
380: 10/04(土)16:45 ID:egmaZhUF(1) AAS
xの方程式
(x^2-3x+1)(x^2-kx+1)+1=0
が整数解を持つような整数kを全て求めよ。
381: 10/05(日)02:21 ID:4PtWK/R0(1) AAS
k = (3 - x)/(x^2 - 3 x + 1) + x + 2/x
v(x) > 0 → v( (3 - x)/(x^2 - 3 x + 1) + x + 2/x ) < 0 unless v is 2-addic and x = ±2.
382: 10/06(月)10:45 ID:4brTqziK(1) AAS
0≦x<π/2において、
sinx+cosx+tanx
の最小値を求めよ。
383(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 10/06(月)13:00 ID:eorVIkmu(1/3) AAS
前>>375
>>376
百円玉n枚のうちa枚表が出、五百円玉n+1枚のうちb枚表が出たとすると、表が出る確率はそれぞれ、
a/n=1/2,b/(n+1)=1/2
a-b=n/2-(n+1)/2=1/2＞0
∴100%
384(1): イナ ◆/7jUdUKiSM 10/06(月)13:03 ID:eorVIkmu(2/3) AAS
前>>383訂正。
>>376
百円玉n枚のうちa枚表が出、五百円玉n+1枚のうちb枚表が出たとすると、表が出る確率はそれぞれ、
a/n=1/2,b/(n+1)=1/2
b-a=(n+1)/2-n/2=1/2＞0
∴100%
385: イナ ◆/7jUdUKiSM 10/06(月)13:19 ID:eorVIkmu(3/3) AAS
前>>384訂正。
>>376
百円玉n枚のうちa枚表が出、五百円玉n+1枚のうちb枚表が出たとすると、表が出る確率はそれぞれ、
a/n=1/2,b/(n+1)=1/2
b-a=(n+1)/2-n/2=1/2
表の枚数差が1/2ということは0枚と1枚のあいだ.
逆に2枚と-1枚のあいだとか3枚と-2枚のあいだということもある.
省4
386: 10/06(月)15:26 ID:Vw2BRcS3(1/2) AAS
以下の条件を全て満たす六角形は存在するか？
・内角が全て等しい
・対辺の長さが等しい
・辺の長さが全て整数
・対角線の長さが全て整数
387: 10/06(月)15:54 ID:7agDP6Pi(1) AAS
隣接する３頂点の外心はすべて一致し図形はその点Oに対して点対称である必要がある。ABCがこの順に隣接する３頂点としてOA=OB=OC=b/sin(120°)は無理数だが、これは最長の対角線の長さの半分だから矛盾する。
388: 10/06(月)18:35 ID:Vw2BRcS3(2/2) AAS
なにか誤解されてると思います
389: 10/08(水)08:33 ID:VoPYoL4R(1/4) AAS
条件を満たす６角形 PQRSTU が存在するとして PQ > QR >RS とする。O を端点とする半直線 OA, OB と半直線 OA 上の 点 A’’、A’、半直線 OB 上の 点 B’’、B’ を
・∠AOB = 60°
・OA = 1, OA’ = 1 + RS/PQ, OA’’ = 1 - RS/PQ
・OB = 1, OB’ = 1 + QR/PQ, OB’’ = 1 - QR/PQ
をみたすようにとる。
390: 10/08(水)08:33 ID:VoPYoL4R(2/4) AAS
u = RS/PQ とすれば
B’A’’² = (PT/PQ)² = 1+u+u²、B’A’² = (QS/PQ)² = 1-u+u²
であるから v = √((1+u+u²)(1-u+u²)) は有理数となり (u,v) は楕円曲線 V² = U⁴ + U² + 1 上の有理点となる。
391: 10/08(水)08:33 ID:VoPYoL4R(3/4) AAS
双有理変換
x = 2(v + 1)、y = 4(v+1) + 2u²
によって (x,y) は Weierestrass 標準形で定義された楕円曲線
Y² = X³ + X² - 4X - 4
に移される
392: 10/08(水)08:34 ID:VoPYoL4R(4/4) AAS
が、この楕円曲線の有理点は
(-1,0)、(-2,0)、(2,0)
に限られるから矛盾する。
外部ﾘﾝｸ:sagecell.sagemath.org
393: 10/08(水)12:58 ID:aoMpdVUQ(1/3) AAS
b,cは整数で、b≠0であり、2次方程式x^2+bx+c=0は無理数の解α、βを持つとする。
相異なる整数m,nに対して、α^m+β^nは整数でないことを証明せよ。
394(1): 10/08(水)13:11 ID:hLfAvSpN(1) AAS
b=c=1
395: 10/08(水)15:16 ID:aoMpdVUQ(2/3) AAS
>>394
実数解ではないから無理数解とは言わない
396: 10/08(水)16:13 ID:+TwosJxG(1) AAS
受験数学ならそうかもしれないけど大学以上ぬ数学で「有理数でない複素数」の事を「無理数または虚数」なんて言わないと思うけど
397: 10/08(水)20:39 ID:aoMpdVUQ(3/3) AAS
b,cは整数で、b≠0かつb^2-4c>0を満たす。
2次方程式x^2+bx+c=0が無理数の解α、βを持つとき、相異なる整数m,nに対して、α^m+β^nは整数でないことを証明せよ。
398: 10/11(土)11:06 ID:uyH3i6El(1/2) AAS
m√n-n√m=1
を満たす正整数の組(m,n)は存在しないことを証明せよ。
399: 10/11(土)14:53 ID:ZfKS/l3j(1) AAS
どこがいいのかわからないタレントにもファンがいること
数学的になぜいるか説明、証明するにはどうすればいいですか
400: 10/11(土)18:47 ID:G73azzDQ(1) AAS
lcm( ₙC₀ ₙC₁ ₙC₂ ... ₙCₙ ) = lcm( 1,2,3, ... ,n,n+1 )/(n+1) を示せ
401: 10/11(土)19:51 ID:uyH3i6El(2/2) AAS
b,cは整数で、b≠0かつb^2-4c>0を満たす。
2次方程式x^2+bx+c=0が無理数の解α、βを持つとき、相異なる整数m,nに対して、α^m+β^nは整数でないことを証明せよ。
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