面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (699ﾚｽ)
面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/
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1: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/01(木) 12:31:40.74 ID:gmHMkXUG 面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです 質問スレではありません 出題者が答えを知らない問題はお控えください 統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です 荒らし、煽りはスルー推奨 前スレ 面白い数学の問題おしえて～な 43問目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1696639819/ まとめwiki http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/1
619: １３２人目の素数さん [] 2025/11/26(水) 15:44:13.21 ID:0jU9cthC 整数係数の既約な多項式であって、 任意の素数を法として可約になる ようなものはあるか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/619
620: １３２人目の素数さん [] 2025/11/26(水) 16:30:56.99 ID:fbcQn2zF 極限 lim[n→∞] (n^x)*{(Σ[k=0,n] 1/k!) - (1+1/n)^n} が0でない実数に収束するような実数xを求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/620
621: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/26(水) 16:59:53.85 ID:CmNJ1+pi >>619 二次以上ならない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/621
622: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/27(木) 18:19:00.70 ID:3uNBasYQ >>619,621 AIに訊いたら X^4 + 1 だと言ってるよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/622
623: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/27(木) 21:16:36.85 ID:obFUqrFP つチェボタレフ密度定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/623
624: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/27(木) 21:17:46.47 ID:obFUqrFP やっぱりあいってまだまだあかんな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/624
625: 622 [sage] 2025/11/27(木) 21:58:31.44 ID:UWng71TU >>620 x=1 で lim=e/2 lim[n→∞] (n^x)*{(Σ[k=0,n] 1/k!) - e + e - (1+1/n)^n}として e - (Σ[k=0,n] 1/k!) ~ 1/(n+1)! e - (1+1/n)^n ~ e/2n >>623 AIが出す「X⁴ + 1 が任意の素数pに対して ℤ/pℤ[X] で可約」の証明に 俺は納得したけどなあ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/625
626: 622 [sage] 2025/11/27(木) 21:59:26.07 ID:UWng71TU >>623 参考までに、その定理を直接>>619にどう適用するの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/626
627: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/27(木) 22:26:21.74 ID:obFUqrFP G = Gal(L/K)の任意の共役類σに対して lim＃{ p≦N| Frob(p)∈σ }/＃{ p≦N } = ＃σ/＃G ∴ ∀p Frob(p) = {e} ⇒ G = {e} http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/627
628: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/28(金) 12:56:01.00 ID:qgYMIDuv >>618 これも引っかけ>>617 (1)は(2)の誘導問題ではないよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/628
629: １３２人目の素数さん [] 2025/11/28(金) 13:00:22.51 ID:fiILOoWy 改題して誘導になるようにした 簡単そうに見えて難しいところもある （1）半径1の円Cに外接する正六角形と、Cに内接する正八角形の面積をそれぞれ求めよ。 （2）√2+√3とπの大小を比較せよ。ただし√2、√3、πの近似値は既知ではないとする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/629
630: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/28(金) 13:22:27.27 ID:p/In3jG5 >>617 2種類の解法を見たけど円の外接内接正多角形は関係なかったな >>629 反応が途絶えたらその一週間後には解答例を出して下さい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/630
631: １３２人目の素数さん [] 2025/11/29(土) 19:10:16.03 ID:xD8z3tl+ f(x)=arcsin(x) g(x)=√(1+x)-√(1-x) とする。 ∫[0,1] |f(x)-g(x)| dx を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/631
632: １３２人目の素数さん [] 2025/11/29(土) 23:20:56.55 ID:R+QZdPMK p^q+1=77...7(n桁) となるような整数(p,q,n)を全て求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/632
633: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/30(日) 14:53:52.42 ID:N4bapao9 >>629 (2) 0 < (√6/72)∫[0,√3/2] (9√(1-x^2) - 4√6 + (12√2 - 7√3)x)^2 dx < √2 + √3 - π http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/633
634: １３２人目の素数さん [sage] 2025/11/30(日) 18:58:51.90 ID:7qbKk1J0 >>633 すごい その被積分関数の導出過程をmathlogか 面倒なら手書きノートの写真画像でも良いので 何かに残して欲しい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/634
635: 633 [sage] 2025/12/01(月) 00:40:16.99 ID:3xlsoUG0 >>634 導出は ∫[0,√3/2] (√(1-x^2)-a+bx)^2 dx = k(√2+√3-π) と置いて右辺と左辺が一致するようにk,a,bを探します πは超越数なので代数的数k,a,bの組は (k,a,b) = (4√6/27, 4√6/9, (12√2-7√3)/9) と決まります 同様な方法で 0 < (√6/96)∫[0,1/√3] (1-x^2)(8/(1+x^2) - 3√6)^2 dx = √2+√3-π も見つかります http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/635
636: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2025/12/01(月) 15:58:36.83 ID:bU1hnH6P 前>>613 >>617(1) 単位円に外接する正六角形=(1/2)(√3/2)×6=3√3/2 単位円に内接する正八角形=1×(1/√2)×1/2×8=2√2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/636
637: １３２人目の素数さん [] 2025/12/01(月) 18:10:46.07 ID:WZln61X0 この問題を解いて下さい 数式もおねがいします http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/637
638: １３２人目の素数さん [] 2025/12/01(月) 18:12:39.37 ID:WZln61X0 間違えました http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/638
639: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/01(月) 21:56:21.05 ID:yPp9nMat >>635 いや凄いね、特に2つ目の形 しかも>>629が図形に即した別解があると言う http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/639
640: １３２人目の素数さん [] 2025/12/02(火) 01:20:30.83 ID:oMRATOmz 2,3,4,5,6,7,8 を並べ替えてできる7桁の整数は平方数でないことを証明せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/640
641: １３２人目の素数さん [] 2025/12/02(火) 05:30:33.96 ID:gxSEKmqt スネル・ホイヘンスの不等式 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/641
642: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/02(火) 07:38:29.21 ID:+qehxdIL ≡ 2 ( mod 3 ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/642
643: １３２人目の素数さん [] 2025/12/03(水) 12:09:36.07 ID:RE2fogb+ p^q+1=77...7(n桁) となるような正整数の組(p,q,n)で、q≧2であるものは存在しないことを証明せよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/643
644: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/03(水) 12:17:49.96 ID:yvEWyHMh 6^5+1=7777. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/644
645: １３２人目の素数さん [] 2025/12/03(水) 20:25:59.48 ID:3WZGIO3N >>644 chatgptに確認したのに… http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/645
646: １３２人目の素数さん [] 2025/12/03(水) 23:17:41.51 ID:34pB0yQa つまり、単なるデタラメ思いつきてきとー全力全開な糞問というわけですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/646
647: １３２人目の素数さん [] 2025/12/04(木) 00:43:21.05 ID:9PcjQqq7 8桁の正整数Nであって、上4桁と下4桁がともに平方数であり、Nもまた平方数であるようなものは全部でいくつあるか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/647
648: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/04(木) 02:22:40.94 ID:Hc1QDuyz 7776なんて有名なのにな… >>632の題意も多分7776以外にあるか？ってことだろうし http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/648
649: １３２人目の素数さん [] 2025/12/04(木) 11:49:27.56 ID:ENVnlmVF >>590 エルゴードthmと大数の法則って何が違うん？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/649
650: １３２人目の素数さん [] 2025/12/04(木) 12:48:01.41 ID:2PghcWZ8 p^q+1=77...7(n桁) となるような正整数の組(p,q,n)で、q≧2であるものを全て求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/650
651: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/04(木) 15:11:51.05 ID:9XBxIJ4j >>645 AIの回答を鵜呑みにすることしかできない奴が 出題するなよ >>622もそう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/651
652: 622 [sage] 2025/12/04(木) 20:57:58.73 ID:7w7TA/Op >>651 証明読んだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/652
653: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/04(木) 21:17:17.57 ID:Hc1QDuyz 読むのは当たり前で、読んだ後にどこかに間違いがないか精査しないと無意味 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/653
654: 622 [sage] 2025/12/04(木) 21:25:10.81 ID:Mh1lbaiN 相手の気に障らない様にちょっとボカしたけど>>625の時点で精査したよ 気兼ねなく訊くけど >>653は「X⁴ + 1 が任意の素数pに対して ℤ/pℤ[X] で可約」を否定してるの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/654
655: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/04(木) 21:39:37.14 ID:kJ7QjI54 x⁴+1 が ℤ/pℤ[x] で完全分解する ⇔ ∃a,b,c,d ∈ ℤ x⁴+1 ≡ (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) (mod p) ⇔ Frob(p) = {e} http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/655
656: 622 [sage] 2025/12/04(木) 21:44:56.10 ID:Mh1lbaiN >>655 x⁴+1 が ℤ/pℤ[x] で完全分解する ⇔ p=2、またはp≡1(mod 8) p≡3,5,7(mod 8)の場合は2次多項式に分解する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/656
657: 622 [sage] 2025/12/04(木) 21:54:24.04 ID:Mh1lbaiN >>653 ちょっと確認だけど 653≠655 ならそう言ってよ 自分は≠643,645 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/657
658: 622 [sage] 2025/12/04(木) 22:04:39.24 ID:Mh1lbaiN >>656 ノート見返したけど分解した2次多項式が既約かどうかまでは何も言ってないから 以下に修正 x⁴+1 は ℤ/pℤ[x] で p=2、またはp≡1(mod 8) ⇒ 完全分解する p≡3,5,7(mod 8) ⇒ (少なくとも)2次多項式に分解する http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/658
659: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/05(金) 01:12:10.57 ID:7TAVIdo5 α=ζ₈、β=ζ₈³、γ=ζ₈⁵、δ=ζ₈⁷ として (α-β)²(α-γ)²(α-δ)²(β-γ)²(β-δ)²(γ-δ)²=256 だからℤ[α]/ℤ において pℤ が不分岐⇔p≠2 p≠2 のとき p ≡ 1 ( mod 8 ) → Frob(p)={e} p ≡ 3 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎β、γ↔︎δ p ≡ 5 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎γ、β↔︎δ p ≡ 7 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎δ、β↔︎γ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/659
660: 622 [sage] 2025/12/05(金) 07:32:36.04 ID:JzaVANMk 先ずは確認ありがとうございます 気兼ねないモード継続しますと >>621,624 辺りでは >>619 及び x⁴+1 に対しても否定的だった >>659 に至って考えを訂正した と言う事を明言してはどうですか? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/660
661: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/05(金) 07:46:16.82 ID:7TAVIdo5 x⁴+1 が mod p で完全分解 ⇔ p = 17,43,59,67,83,... それ以外の素数では完全分解しない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/661
662: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/05(金) 07:54:21.88 ID:7TAVIdo5 p=3 のとき x⁴+1 ≡ x⁴-2x²+1 + 2x² ≡ (x²-1)² - x² ≡ (x² + x - 1)(x² - x - 1) x²+x-1, x²-x-1 は ℤ/3ℤ[x] で規約 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/662
663: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/05(金) 08:04:06.75 ID:7TAVIdo5 p=17 のとき x⁴+1 ≡ x⁴+2x²+1 - 2x² ≡ (x²+1)² - 36x² ≡ (x² + 6x + 1)(x² - 6x + 1) ≡ (x - 2)(x - 9)(x - 8)(x + 2) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/663
664: 622 [sage] 2025/12/05(金) 12:19:58.52 ID:Z0AEq51m >>662 可約ですね(元の4次式) 可約=既約でない 可約≠完全分解する (言うまでもないですが念のため) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/664
665: 622 [sage] 2025/12/05(金) 19:46:31.25 ID:Ci4TbcG3 X⁴ + 1 が任意の素数pに対して ℤ/pℤ[X] で可約 自分が確認した証明は i²≡-1, a²≡2, b²≡-2 (mod p)なる整数 i,a,b がそれぞれ存在する 奇素数 p に関する条件を mod 8 で場合分けして、それらを用いて 具体的に X⁴+1 を因数分解する方法なので、あえて2次多項式の規約性は避けた (p=2の場合の可約は自明) >>658 p=2の場合はsplits completelyではなくramifiesと言うべきだった(重根なので) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/665
666: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 11:34:09.15 ID:9q95/NS5 (x^2+nx+1)(x^2-nx+1)+1 が定数でない多項式の積に因数分解できるような正整数nが存在するならば、その最小値を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/666
667: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/06(土) 12:11:22.29 ID:TF3ffwho 普通に判別式取ってn=3じゃいかんのか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/667
668: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 12:32:18.38 ID:qakIGKJ2 整係数でってつもりなんじゃないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/668
669: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 12:45:12.07 ID:qakIGKJ2 (x^2+nx+1)(x^2-nx+1)+1=x^4+(2-n^2)x^2+2 整数根は定数項の約数だから1次の因数はないので x^4+(2-n^2)x^2+2=(x^2+ax+b)(x^2-ax+c) と置くと a=0 b+c=2-n^2 bc=2 NG a≠0 b=c x^4+(2-n^2)x^2+2=(x^2+ax+b)(x^2-ax+b) b^2=2 NG http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/669
670: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/06(土) 13:45:11.04 ID:TF3ffwho くだらない質問なんだけど 5次以上の方程式が冪根などで表示できない解を持つ場合って因数分解できるといっていいものなの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/670
671: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 13:50:43.36 ID:AKqU9cLJ この手の話で、わざと狙って係数をボカすのは鉄板お約束ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/671
672: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 16:05:29.79 ID:qakIGKJ2 >>670 いんでね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/672
673: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/06(土) 20:54:48.06 ID:VzWJvdBe どこに聞いていいか分からないので質問となります 疾病負荷のからくりが知りたいです https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%BE%E7%97%85%E8%B2%A0%E8%8D%B7 の表中1位コロナで10万人あたり3,061.5となっておりますが これを一人の人生、寿命80年で計算し直すと 損失は3時間と言うことでよろしいでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/673
674: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/06(土) 20:58:22.57 ID:VzWJvdBe 小学生水着で検索しても画像出てこないようになってるけど 水球で検索すると出てくるんだよね ロリコン対策洩れ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/674
675: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 21:05:25.60 ID:AKqU9cLJ ぐーぐる先生に依頼したらガンガンでてきたぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/675
676: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 21:52:49.93 ID:YyleX90Z n次多項式P_n(x)の主係数が正であるときに その絶対値 |P_n(x)| を -1 < x < 1 の範囲で積分したときに 値が最小となるような多項式P_n(x)とその積分の値を求めなさい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/676
677: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 22:12:45.87 ID:qakIGKJ2 >>676 >主係数 てなに？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/677
678: １３２人目の素数さん [] 2025/12/06(土) 23:03:39.18 ID:AKqU9cLJ どうみてもmonic（など）として出題すべきなのにしない 例の人のクソ芸風 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/678
679: １３２人目の素数さん [] 2025/12/07(日) 01:33:53.39 ID:OsO3kFde 主係数は1の間違いでした。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/679
680: １３２人目の素数さん [] 2025/12/07(日) 01:40:37.08 ID:izb72j2R >>679 >主係数は1 てなに？主係数が1ってmonicってこと？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/680
681: １３２人目の素数さん [] 2025/12/07(日) 19:57:26.37 ID:OsO3kFde 主係数（しゅけいすう、leading coefficient）とは、 多項式において最も次数（べき乗）の高い項の係数 （文字にかかっている数字の部分）のことです。 例えば、\(3x^{2}+2x-1\) という多項式なら、 \(x^{2}\) が最高次項で、その係数である \(3\) が 主係数です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/681
682: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/07(日) 20:13:50.42 ID:+vkhh3ru >>676,681 答えを持ってて出題してる？ 自分で精査して、要求があればこの場で証明出せる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/682
683: １３２人目の素数さん [] 2025/12/07(日) 21:37:10.61 ID:q9gwERQX 無意味に狙って広義積分にしたり、いろいろお察しな予感なんだけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/683
684: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 11:50:20.46 ID:c8ArwS3i >>400 これ誰か証明教えてほしい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/684
685: １３２人目の素数さん [] 2025/12/08(月) 15:12:03.11 ID:xy81tgcA 1から9までの数字をそのままの順に並べ、その間に適当に「＋または－の記号だけ」をはさみ、記号の入っていないものはそれを一つの整数として計算して、答が100になるようにすることはできる。 例 1+2+3-4+5+6+78+9=100 1+2+34-5+67-8+9=100 12+3+4+5-6-7+89=100 123-4-5-6-7+8-9=100 123-45-67+89=100 では、「＋または－の記号だけ」という条件を「＋の記号だけ」に変えて100になるようにできるだろうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/685
686: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 15:33:09.02 ID:5wER66nI p を n 以下の素数とする。n+1 を p 進展開したときの桁数を u とする。すなわち p^(u-1) ≦ n+1 ＜ p^u とする。このとき vₚ(RHS) = (u-1) - vₚ(n+1) である。これは n を p 進展開したときの下桁から続く p-1 の数を v としたとき u-1-v に等しい。 (参考) p = 5、n = 21344₍₅₎ のとき u = 5、v = 2 である。このとき v₅(1,2,3, ... ,n,n+1) = 5^4、v₅(n+1) = 2 である。 vₚ(ₙCₖ) は ⌊n/p^e⌋ > ⌊k/p^e⌋ + ⌊(n-k)/p^e⌋ を満たす自然数 e の数に等しい。 n+1 = p^(u-1) とする。 n = p^(u-1) -1 であり、n の p 進展開にあらわれる数はすべて p-1 である。このとき任意の 1 ≦ k ≦ n-1 に対して k/p^e の小数部と (n-k)/p^e の小数部の和は 1 未満である。そうでなければ k の下 e 桁と n-k の下 e 桁の和が 2p^e -1 以上となるが、それは矛盾である。よって ⌊n/p^e⌋ > ⌊k/p^e⌋ + ⌊(n-k)/p^e⌋ を満たす e は 0 である。一方 vₚ(RHS) も 0 だからこのときは主張は成立する。 n+1 ≠ p^(u-1) とする。このとき n の桁数も u であり、その p 進展開にはかならず p-1 以外の数が現れるから v<u である。k = p^(u-1)-1 とする。k は u-1 桁だから k<n である。このとき (k+1)/(n+1) ₙ₊₁Cₖ₊₁ = ₙCₖ であるから vₚ(ₙCₖ) ≧ vₚ(k+1) - vₚ(n+1) = u - 1 - v である。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/686
687: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 16:56:54.68 ID:IdLQsaBA 問>>400 >>686 > □ まだ vₚ(LHS) ≧ vₚ(ₙCₖ) ≧ u - 1 - v = vₚ(RHS) までしか言えていない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/687
688: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 18:41:22.24 ID:KpNN460d >>685 1+2+…+9≡0 mod 9 100≡1 mod 1 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/688
689: １３２人目の素数さん [] 2025/12/08(月) 18:50:04.81 ID:xy81tgcA >>688 お見事です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/689
690: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 19:02:07.87 ID:sC/X393m u - 1 - v = vₚ(RHS) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/690
691: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 20:38:07.06 ID:1nGc3m0j >>484 探したら普通に見つかるよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/691
692: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 21:15:07.14 ID:sC/X393m p(x) が x² + ux + v ( u² - 4v < 0 ) である因子をもつならそれを x² + ux + u²/4 にとりかえた多項式を q(x) とすると p(x) - q(x) = v - u²/4 > 0 により ∫[-1,1] | p(x) | dx > ∫[-1,1] | q(x) | dx である。よって p(x) が実根のみをもつ範囲に制限してよい。p(x) が α>1 である因子 x-α をもつときこれを x-1 に置き換えた多項式を q(x) とすると ∫|p(x)| dx > ∫|q(x)| dx である。よって p(x) が実根は [-1,1] にのみ属するとしてよい。p(x) が x-1 を因子にもつとするときこれを x-1 に置き換えた多項式を q(x) とすると ∫|p(x)| dx - ∫|q(x)| dx = cε + O(ε²) となるから x-1 の多重度が1小さい多項式で ∫|p(x)| dx が真に小さいものが存在するから実根は (-1,1) にのみ属するとしてよい。 p(x) の実根を大きい順にならべて 1 > α₁ ≧ α₂ ≧ α₃ ≧ ... ≧ αₙ > -1 とする。p(x) の原始関数を S(x) として ∫[-1,1] | p(x) | dx = S(1) - 2S(α₁) + 2S(α₂) - 2S(α₃) + ... 2(-1)ⁿS(αₙ) - (-1)ⁿS(-1) である。p(x) → p(x) + εxᵏ ( k = 0,1,...,n-1 ) と置換したときの S の変分は δ∫[-1,1] | p(x) | dx = ( (1ᵏ - 2a₁ᵏ + 2a₂ᵏ ... + 2(-1)ⁿaₙᵏ -(-1)ⁿ(-1)ᵏ )ε だから (a₁, ... ,aₙ ) において積分が極値をとるには 1ᵏ - 2a₁ᵏ + 2a₂ᵏ ... + 2(-1)ⁿaₙᵏ -(-1)ⁿ(-1)ᵏ ( 1 ≦∀k ≦ n ) である。Vandelmonde の定理より存在すれば一意であり aₖ = cos(kπ/( n+1 )) のときこの条件を満たす。また (aₖ) の変域を Iⁿ と考えてよく、この時有界コンパクト領域だから明らかに最小値を持たなくてはならず、前述の通りそれは内点である必要があるから極値でなければならない。 以上によりp(x) が n個の実根 cos(kπ/(n+1)) ( k=1..n) を持つ時( すなわち第1種チェピシェフ多項式の定数倍てモニックであるものの時が最小値を取る時である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/692
693: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 21:16:54.73 ID:sC/X393m あ、チェビシェフ多項式ではないな、その部分は無視してください http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/693
694: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 21:43:23.62 ID:xGY7JJ0F >>691は >>484じゃなくて>>684 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/694
695: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/08(月) 23:28:38.18 ID:NP7kAyzd >>676 第二種チェビシェフ多項式(monic) P_n(x) = (1/2^n)sin((n+1)arccos(x))/√(1-x^2) のとき最小値1/2^(n-1)となる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/695
696: １３２人目の素数さん [] 2025/12/09(火) 00:19:48.11 ID:uS2nxgOC 良く出来ました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/696
697: １３２人目の素数さん [] 2025/12/11(木) 11:00:52.70 ID:mT0XTkp1 f(x)=ax^2+bx+c とし、f(x)の-1≦x≦1における最小値をmとする。a,b,cが -1≦a≦1、-1≦b≦1、-1≦c≦1 を動くとき、mの取りうる値の範囲を求めよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/697
698: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/11(木) 16:38:06.99 ID:DOqsre3n >>694 2009年に発表された結果なんだね 割と最近で驚いた しかもq変形でも成り立つのワロタ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/698
699: １３２人目の素数さん [sage] 2025/12/12(金) 07:53:02.51 ID:JvkKwKwW >>629 解答例をお願いします (>>641が最後の反応かな) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/699
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