面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (346ﾚｽ)

面白い数学の問題おしえて～な 44問目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/

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33: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/10(土) 13:58:13.82 ID:c9rv6gVy 【補題B】 もし実数 a,b s.t. a<b について f(a)≠f(b) であるなら、 ある実数 c∈(a,b) であって f(a)=f(c) を満たすものが存在する. （証明）補題Aと中間値の定理でがんばる kwsk http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/33

34: １３２人目の素数さん [sage] 2025/05/12(月) 20:22:01.65 ID:72nStnAc >>33 |b-a| + 2f(a) < n|f(a)-f(b)| を満たす正の整数 n を固定し、関数 g を g(x) := x + nf(x) と定める。この時、 |g(a)-g(b)| = |(a-b) + n(f(a)-f(b))| ≧ n|f(a)-f(b)| - |a-b| > 2f(a). ゆえに連続関数 h(x):=(g(x)-a)/f(a) による区間 (a,b) の像は2以上の長さを持つから、 ある c∈(a,b) が存在して m:=h(c) は整数である。 定義から m = ((c-a) + nf(c)) / f(a) と計算され、これは正の数である。整理して a + mf(a) = c + nf(c). であるから、補題Aを用いて f(c) = f(c + nf(c)) = f(a + mf(a)) = f(a) が示される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1746070300/34

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