面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (699ﾚｽ)
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抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
690: 12/08(月)19:02 ID:sC/X393m(1/3) AAS
u - 1 - v = vₚ(RHS)
692: 12/08(月)21:15 ID:sC/X393m(2/3) AAS
p(x) が x² + ux + v ( u² - 4v < 0 ) である因子をもつならそれを x² + ux + u²/4 にとりかえた多項式を q(x) とすると p(x) - q(x) = v - u²/4 > 0 により ∫[-1,1] | p(x) | dx > ∫[-1,1] | q(x) | dx である。よって p(x) が実根のみをもつ範囲に制限してよい。p(x) が α>1 である因子 x-α をもつときこれを x-1 に置き換えた多項式を q(x) とすると ∫|p(x)| dx > ∫|q(x)| dx である。よって p(x) が実根は [-1,1] にのみ属するとしてよい。p(x) が x-1 を因子にもつとするときこれを x-1 に置き換えた多項式を q(x) とすると ∫|p(x)| dx - ∫|q(x)| dx = cε + O(ε²) となるから x-1 の多重度が1小さい多項式で ∫|p(x)| dx が真に小さいものが存在するから実根は (-1,1) にのみ属するとしてよい。
p(x) の実根を大きい順にならべて 1 > α₁ ≧ α₂ ≧ α₃ ≧ ... ≧ αₙ > -1 とする。p(x) の原始関数を S(x) として
∫[-1,1] | p(x) | dx = S(1) - 2S(α₁) + 2S(α₂) - 2S(α₃) + ... 2(-1)ⁿS(αₙ) - (-1)ⁿS(-1)
である。p(x) → p(x) + εxᵏ ( k = 0,1,...,n-1 ) と置換したときの S の変分は
δ∫[-1,1] | p(x) | dx
= ( (1ᵏ - 2a₁ᵏ + 2a₂ᵏ ... + 2(-1)ⁿaₙᵏ -(-1)ⁿ(-1)ᵏ )ε
だから (a₁, ... ,aₙ ) において積分が極値をとるには
省6
693: 12/08(月)21:16 ID:sC/X393m(3/3) AAS
あ、チェビシェフ多項式ではないな、その部分は無視してください
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