面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (307ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
10: 05/02(金)23:31 ID:WyRmJZbH(1/3) AAS
半径 1/2 の円としてよい。４辺の弦の円周角を x,y,z,w とする。4 辺は sin(x), sin(y), sin(z), sin(w)、２本の対角線の長さは sin(x+y)=sin(z+w), sin(x+y)=sin(z+w) である。とくに 対角線の長さの２乗の和は 2 以下である。
R = {(x,y,z,w) ; x,y,z,w ≧ 0 , x+y+z+w = π } において
2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x)) ≧ 0
を示せばよい。
S = 2(sin²(x)+sin²(y)+sin²(z)+sin²(w))
- (sin²(x+y)+sin²(y+z)+sin²(z+w)+sin²(w+x))
省2
11: 05/02(金)23:32 ID:WyRmJZbH(2/3) AAS
内点で極値をとる点では
2sin(x)cos(x) - cos(x+y) - cos(x+w)
= 2sin(y)cos(y) - cos(y+z) - cos(y+x)
= 2sin(z)cos(z) - cos(z+w) - cos(z+y)
= 2sin(w)cos(w) - cos(w+x) - cos(w+x)
が必要である。よって
sin(2x) - sin(2y) - cos(x+w) - cos(y+z) = 0
省4
12(1): 05/02(金)23:32 ID:WyRmJZbH(3/3) AAS
cos(x+y)=0, cos(y+z) = 0, cos(z+w) = 0, cos(w+x) = 0
のいずれか一つでも成立するとき対角線のうち一方が直径となるから T=2 であり、
sin(x-y)=0, sin(y-z)=0, sin(z-w)=0, sin(w-x)=0
のすべてが成立するときは x=y=z=w となり長方形となるから T=2 である。以上により S が極値をとるとき対角線のいずれかがかならず直径となり、４辺の二乗和が 2 となるから S≧0 である。さらにこのとき S = 0 となるのは対角線の長さがともに 1 となるときに限られるから四角形は長方形となる。以上により S≧0 であり、等号成立は長方形の場合である。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.020s