面白い数学の問題おしえて～な 44問目 (699ﾚｽ)
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659(1): 12/05(金)01:12 ID:7TAVIdo5(1/4) AAS
α=ζ₈、β=ζ₈³、γ=ζ₈⁵、δ=ζ₈⁷ として
(α-β)²(α-γ)²(α-δ)²(β-γ)²(β-δ)²(γ-δ)²=256
だからℤ[α]/ℤ において pℤ が不分岐⇔p≠2
p≠2 のとき
p ≡ 1 ( mod 8 ) → Frob(p)={e}
p ≡ 3 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎β、γ↔︎δ
p ≡ 5 ( mod 8 ) → Frob(p):α↔︎γ、β↔︎δ
省1

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661: 12/05(金)07:46 ID:7TAVIdo5(2/4) AAS
x⁴+1 が mod p で完全分解
⇔ p = 17,43,59,67,83,...
それ以外の素数では完全分解しない

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662(1): 12/05(金)07:54 ID:7TAVIdo5(3/4) AAS
p=3 のとき
x⁴+1
≡ x⁴-2x²+1 + 2x²
≡ (x²-1)² - x²
≡ (x² + x - 1)(x² - x - 1)
x²+x-1, x²-x-1 は ℤ/3ℤ[x] で規約

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663: 12/05(金)08:04 ID:7TAVIdo5(4/4) AAS
p=17 のとき
x⁴+1
≡ x⁴+2x²+1 - 2x²
≡ (x²+1)² - 36x²
≡ (x² + 6x + 1)(x² - 6x + 1)
≡ (x - 2)(x - 9)(x - 8)(x + 2)

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