[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part441 (1002ﾚｽ)

高校数学の質問スレ Part441 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745555217/

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411: １３２人目の素数さん [] 2025/05/07(水) 17:01:00.26 ID:vVOjiRKP >>409 【証明】 前提： および はともに無理数です。 無理数と有理数の線形結合（係数が有理数の加減）は、通常は無理数になります。ただし、特別な関係があれば有理数になる場合もあります。 --- 背理法（対偶を仮定）を用いて証明する： 仮定： は 有理数 であると仮定する。 つまり、ある有理数 が存在して： m\sqrt{3} - n\sqrt{2} = r これを変形すると： m\sqrt{3} = r + n\sqrt{2} 両辺を について解くと： \sqrt{3} = \frac{r + n\sqrt{2}}{m} この右辺は、有理数と無理数の和を有理数で割った形です。 、 は無理数なので、 \frac{r + n\sqrt{2}}{m} は無理数です（なぜなら、有理数と無理数の和は無理数）。 よって、左辺 は無理数であるにもかかわらず、**右辺が無理数でない（有理数である）**という矛盾が起きることになります。 --- 結論： 仮定に矛盾が生じたので、仮定（つまり「 は有理数である」）は誤り。 よって、 は無理数である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745555217/411

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