高校数学の質問スレ Part441

[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part441 (1002ﾚｽ)
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413: １３２人目の素数さん [] 2025/05/07(水) 18:25:54.33 ID:tjAfmrG4

>>412
\( m, n \) が正の整数であるとき、\( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) が無理数であることを示します。仮に \( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) が有理数であるとします。すなわち、ある有理数 \( r \) が存在して、\[
m\sqrt{3} - n\sqrt{2} = r
\]
と仮定します。この式を次のように書き換えます：\[
m\sqrt{3} = n\sqrt{2} + r
\]
両辺を平方します：\[
m^2 \cdot 3 = (n\sqrt{2} + r)^2 = n^2 \cdot 2 + 2nr\sqrt{2} + r^2
\]
これを整理すると：\[
3m^2 = 2n^2 + 2nr\sqrt{2} + r^2
\]
\[
2nr\sqrt{2} = 3m^2 - 2n^2 - r^2
\]
右辺 \( 3m^2 - 2n^2 - r^2 \) は、\( m, n \) が正の整数で \( r \) が有理数なので有理数です。よって、左辺 \( 2nr\sqrt{2} \) も有理数でなければなりません。ここで、\( n \) は正の整数、\( r \) は有理数（0でないと仮定、さもなくば \( m\sqrt{3} = n\sqrt{2} \) となり後述の矛盾に直結）なので、\( 2nr \neq 0 \) であり、\( \sqrt{2} = \frac{3m^2 - 2n^2 - r^2}{2nr} \) は有理数となります。しかし、\( \sqrt{2} \) は無理数であるため、これは矛盾です。もし \( r = 0 \) の場合、元の式は \( m\sqrt{3} = n\sqrt{2} \) となり、\( \sqrt{3} = \frac{n}{m}\sqrt{2} \)、つまり \( \sqrt{6} = \frac{n}{m}\sqrt{2} \)、よって \( \sqrt{3} = \frac{n}{m} \)。しかし、\( \sqrt{3} \) は無理数であり、\( \frac{n}{m} \) は有理数なので、これも矛盾します。したがって、\( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) が有理数であるという仮定は成り立たず、\( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) は無理数でなければなりません。結論：\( m\sqrt{3} - n\sqrt{2} \) は無理数である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745555217/413

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