[過去ﾛｸﾞ] 高校数学の質問スレ Part441 (1002ﾚｽ)
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411: 05/07(水)17:01 ID:vVOjiRKP(1) AAS
>>409
【証明】

前提：

および はともに無理数です。

無理数と有理数の線形結合（係数が有理数の加減）は、通常は無理数になります。ただし、特別な関係があれば有理数になる場合もあります。

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背理法（対偶を仮定）を用いて証明する：

仮定：
は 有理数 であると仮定する。
つまり、ある有理数 が存在して：

m\sqrt{3} - n\sqrt{2} = r

これを変形すると：

m\sqrt{3} = r + n\sqrt{2}

両辺を について解くと：

\sqrt{3} = \frac{r + n\sqrt{2}}{m}

この右辺は、有理数と無理数の和を有理数で割った形です。
、 は無理数なので、

\frac{r + n\sqrt{2}}{m}

は無理数です（なぜなら、有理数と無理数の和は無理数）。

よって、左辺 は無理数であるにもかかわらず、**右辺が無理数でない（有理数である）**という矛盾が起きることになります。

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結論：

仮定に矛盾が生じたので、仮定（つまり「 は有理数である」）は誤り。
よって、 は無理数である。

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