ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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838: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/05(月) 08:49:55.63 ID:Y7s/vlgi

>>837
>実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが

やれやれ
下記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
を 百回音読してねｗ
これが、下記Terence Taoの 3.The “post-rigorous”、 stage intuition, and the “big picture”

確かに、>>777より https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
『3.2 コーシー列による実数の定義
無限項もある数列が実数だということになったので，事態はより深刻かもしれない．
実のところ，ここではα “=” lim n→∞ an (3.2.5)を狙っているのである．つまり，「実数は有理コーシー列の同値類」とは言ったけども，実際には「実数はその有理コーシー列の極限」と定義したいのだ．しかし，今は実数を定義している途中であるから，考えているコーシー列は有理数の中に極限を持つとは限らない．（いや，正直，有理数の中に極限を持たないコーシー列の方が濃度の意味で多い．）これでは上の極限を使った定義はできない．仕方ないので，頭の中では「この数列の極限が実数なんだよ」と思いつつ，「この数列の同値類が実数」と言っているのである』

ここの 原隆が行っている 一旦 「実数は有理コーシー列の同値類」として → 「この数列の極限が実数なんだよ」を示す
これは、一つの証明の手筋として 覚えておくことではあるだろう、The “rigorous” stage (Tao) としてね
なお、実は有理数を完備化する方法は1通りではありません

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2844
高校数学の美しい物語
コーシー列 更新 2023/08/31

展望〜距離空間への一般化
有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます
実は有理数を完備化する方法は1通りではありません！ 興味がある人は
p 進数 で調べてみましょう
また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/838

843: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/05(月) 09:35:56.19 ID:Y7s/vlgi

>>838 補足
> ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
>『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』

Terence Taoのいう“big picture”は
上記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”のとおりです

有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
これで、有理数が完備化される（作った実数の集合による コーシー列 の収束は、また実数内となる（完備））

Terence Taoの“big picture”が すっぽりと 抜け落ちている。これ 数学オチコボレさん

下記の謎の数学者 の ”数学に向かない人”の話でも 「絵」に例えています
これ“big picture”ですね。 “big picture”が分らないおサルさん>>7ｗ これでしょうね ；ｐ）

(参考)>>835再録
https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=11https://youtu.be/q-3IWEyfFQg?t=1
数学に向かない人の数学書の読み方。数学者はこうやって読む
謎の数学者 2022/06/07
コメント
@gary8593
2 年前
「絵を描くように」という例えが、めちゃくちゃ腑に落ちました。
特に英語の文献を読む時に精読を心がけすぎて、全体像が掴めなくなることがよくあって困ってたので、参考にします。

＜文字起こし＞
3:19
この読む際にですねまあ先ほど言いました
ようにやってはいけない読み方というのは
これですねあの一語一句読んでしまうと
いう人がですねいるんですね一語一句
3:31
とりあえず1文1文ですね完璧に
読み進めようとしてしまう人それそういう
人はですね実はなかなか
あの数学とりわけ純粋数学には向かないん
ですね本当にですね
3:45
1文1文をですね完璧に理解して 次に進ん
でそれを完璧に理解しようとしてさらに次
に進むみたいなそういう形そういう読み方
をしているとあの絶対にですね数学書と
いうのは読み終わらないしそうやって読む
ものではないんです

4:42
各節の全体の構造を把握するというのがですね
まず最初に行うべきことであって枝葉部分
はですね思い切ってええまあなんですから
はしょるというかあまり気にしないで
分からないことがあってもですね
とりあえずどんどん進むぐらいのですね
そういう気持ちで数学書というのを読んて
いくそれがですね実はですね正しい数学書
の読み方なんですね

9:51
まあこれたとえですけれど　例えば
ですねこう 絵 を書くことを思い出して
ほしい
例えばこうどっかの風景
を見てですねなんか絵を描くそういう
ところですね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/843

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