ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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817: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/04(日) 13:04:41.44 ID:GrLmqCpf

>>809
>”「区間縮小法」を用いる方法などがある”

5ch便所板 おミソのスレ主です
「区間縮小法」を検索すると、下記など
『この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.』って （＾＾

(参考)
https://math-note.com/proof-of-method-of-nested-intervals/
数学ノート
数学修士卒会社員による身の回りの数学に関する話
区間縮小法の証明（解析学 第I章 実数と連続5）
2019年9月15日

我々は今,実数の連続性を公理とし,数列の極限について定義,様々な極限操作を論理的に厳密に扱えるようになりました.今回は「区間縮小法」という重要な定理を証明します.
目次【本記事の内容】
区間縮小法と証明
定理のポイント
まとめ（実数の連続性公理）
なお,「東京大学出版　杉浦光夫著　解析入門１」を参考としております.
区間縮小法
定理（区間縮小法）有界な閉区間の列{In}n∈Nが単調減少,つまり,次を満たすとする.
以下略
定理のポイント
区間縮小法の証明には,本質的に次の事実を使いました.
有界な単調増加・減少数列は上限・下限に収束する

これは,実数の連続性公理から導かれる定理でした.無限に小さな話など,想像がつきにくくなる現象の議論には,このような数学的な定義と演繹的な議論が必要です.
この区間縮小法は解析学でよく使われる定理で,特に方程式の根を数値的に求める場合の基本原理となります.
方程式f(x)=0の根αが,an≤α≤bn,　α∈In=[an,bn]で評価できているとき,上下の数列でうまく単調減少列In⊃In+1⊃⋯が作れれば,どんどん根αの近似解が得られます.

まとめ（実数の連続性公理）
Dedekindの切断に関する実数の連続性公理から議論をスタートして,収束の定義によって今まで分かったことを次でまとめておきます.
略す

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/08/core08.pdf
2008.04.14.数学II （理系コア科目）担当：原　隆（数理学研究院）：

P8
以上の下で，実数の連続性（完備性）の公理を述べることができる．
公理2.1.4 (実数の連続性の公理 I — 収束部分列の存在)
有界な無限数列は必ず，収束する部分列を含む．つまり，有界な無限数列{an}が与えられれば，その部分列{bn}をうまくとって，{bn}が収束するようにできる．

2.1.2 実数の連続性の「公理」その２ — 有界単調列の収束
略す

2.1.3 実数の連続性の「公理」その３ — 上限・下限の存在
略す

以上３つの連続性の公理I, II, IIIが同値であることはこれから証明する．

実はこの他にも連続性の公理の表現はある．大雑把にいうと
• デデキントの切断を用いて，「実数の切断にはII型かIII型しかない」とやるもの
• 「アルキメデスの公理」＋「区間縮小法の原理」をいうもの
• 「アルキメデスの公理」＋「コーシー列は必ず収束する」とやるもの
などである．

P14
続いて「区間縮小法」について
公理2.1.11 (実数の連続性の公理 IV-区間縮小法)
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/817

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