ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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777: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/03(土) 23:26:50.43 ID:hWSy8C+R

>>767 補足

有理数→実数の構成は、幾通りもある
あたかも、ピタゴラスの定理が 幾通りもあるが如し
まず、実数の構成に関するノート∗原隆 のあらすじを見ておこう

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大）
九州大学2006,2007年春学期「数学II」「微分積分学・同演習A」への補足
より
P22
3.2 コーシー列による実数の定義
無限項もある数列が実数だということになったので，事態はより深刻かもしれない．
もちろん，心配するには及ばない．これから段々と，この一見奇妙に見える定義が我々の知っている実数を定義することを見ていく．
この際にキーになるのは「同値類」の概念である．以下ではこの「同値類」のお陰で，この定義がうまく行っている事を見るだろう．
（注）上では実数をコーシー列の同値類と定義したわけだが，この狙いは以下の通りである．いま，α=[{an}]，つまりαとは代表元が{an}というコーシー列であるような「コーシー列の同値類」であるとしよう．実のところ，ここではα “=” lim n→∞ an (3.2.5)を狙っているのである．つまり，「実数は有理コーシー列の同値類」とは言ったけども，実際には「実数はその有理コーシー列の極限」と定義したいのだ．しかし，今は実数を定義している途中であるから，考えているコーシー列は有理数の中に極限を持つとは限らない．（いや，正直，有理数の中に極限を持たないコーシー列の方が濃度の意味で多い．）これでは上の極限を使った定義はできない．仕方ないので，頭の中では「この数列の極限が実数なんだよ」と思いつつ，「この数列の同値類が実数」と言っているのである．実際，以下で実数の四則演算などを定義する際，結局は「この数列の極限」にしか興味のない定義になっている事がわかるだろう．（注）上で用いた同値関係(3.2.3)は何を狙っているのかというと，数列{xn}と数列{yn}の極限が等しい，ことを狙っているのだ．ただし，上に書いたように，有理数の範囲では「極限」が存在しないことがほとんどだから，実数を定義するまでは極限を全面に出す訳には行かない．仕方ないので，このようにややこしい書き方になっている．
Ｐ24
3.2.2 同値類の実際の形
同値類がよく見えないという人もいると思うので，ちょっと余分なことを書いておく．
略す
3.3 実数の四則演算
P30
3.4 実数の順序（大小）と絶対値
Ｐ36
3.5 実数における極限の定義
以上で実数体を大体構成した．これで漸く，普通の極限の話に戻れる．極限の定義などは通常のように行うのだが，「実数」そのものが「有理数のコーシー列」だと定義されているので，ちょっと変な感じがするかもしれない．少し丁寧に見ていく事にする．
略す
P37
3.6 コーシー列の収束証明
普通の実数の四則演算ができたので，このような普通の定義でかなりの部分の話はうまく進む．うまく進まない可能性があるのは，実数の連続性とコーシー列に関連した話題だ．コーシー列から実数を構成した今の流れでは，まずは「コーシー列の収束性」を示してから「実数の連続性」「上限・下限の存在」などに進むのが良い．コーシー列の定義は今まで通り，
略す
定理3.6.2 (コーシー列は収束する)
略す
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/777

808: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/04(日) 09:25:22.65 ID:GrLmqCpf

>>777 補足
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大）
九州大学2006,2007年春学期「数学II」「微分積分学・同演習A」への補足
より
Ｐ2
1はじめに
実数の構成法にはいろいろな方法がある．一つは「デデキントの切断」を用いるやり方，もう一つは「コーシー列の同値類」として構成する方法，
その他にも「区間縮小法」を用いる方法などがある．
このうち，最も簡潔なのはデデキントの切断を用いるやり方だろうから，以下の2章ではこれを解説する．
一方，コーシー列の同値類として定義する方法は実数のみならず，より高度な「完備な関数空間」の定義にも使え，現代解析学の大きな武器の一つとなっている．
そこで，この方法を3章で解説する．
（ただし，読者の大半が数学科ではない１年生である事を考慮し，「ノルム空間の完備化」については一切触れない．）
続いて，この２つの構成が同等なものである（実質的に同じ実数の集合を定義する）ことを4章で解説する.
最後に，実数は本質的に一通りに決まる事，つまり，実数の公理をみたす数の体系は本質的に一つに定まる事を5章で示す．

注
1実際，このノートの大半はできるだけ参考文献を見ないようにして，大学入学時の僕になったつもりで書きおろした．
（もう少し正確に言うと，このノートは高木本[7]，小平本[6]を参考にしてこの２冊を補完するものとして書き始めた．
しかしこれらの本では乗法や除法の前に極限を扱っており，これは講義の進め方とは異なる．
そこで結局，大半は自分で書き下す事になった．2章の前半が小平本に酷似しているのはそのせいである．）
敢えて書下ろした理由は，既存の参考文献があまりに「かっこ良く」まとまり過ぎており，それに影響されて僕のノートも変に「かっこ良く」なってしまうのを恐れたためである——そうなってしまえば，以下のノートの代わりに文献を読んでもらえば良いことになる．
その他に，以下で挙げるような参考書が手に入ったのはこのノートをほとんど書き終えてからだった，という実際的な理由もある

Ｐ24
3.2.2 同値類の実際の形
同値類がよく見えないという人もいると思うので，ちょっと余分なことを書いておく．
まず，上のお約束に従って，ゼロを表す同値類を考える：
N :=[{0}] :={ {an}n=1∞ | {an}は有理コーシー列で lim n→∞ an =0}  (3.2.6)
ある有理コーシー列{bn}と同値な有理コーシー列{b'n}は lim n→∞ |bn −bn| = 0を満たす．
このとき，bn−b'nも有理コーシー列であるので，bn−b'n∈N であると言える．
逆に，{bn}が有理コーシー列の時，{an} ∈ N を持ってきてbn := bn+anを考えると，この{bn}は有理コーシー列でかつ，{bn}は{bn}と同値だと言える．
以上から，ある有理コーシー列{bn}の同値類は[{bn}] = {{bn +an} {an} ∈ N} (3.2.7)
と書ける事がわかる（{an+bn}とは第n項がan+bnである数列を表す）．
つまり，ある代表元にN に入っている数列を足したもの全体が，同値類になっているのだ．
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/808

838: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/05(月) 08:49:55.63 ID:Y7s/vlgi

>>837
>実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが

やれやれ
下記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
を 百回音読してねｗ
これが、下記Terence Taoの 3.The “post-rigorous”、 stage intuition, and the “big picture”

確かに、>>777より https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
『3.2 コーシー列による実数の定義
無限項もある数列が実数だということになったので，事態はより深刻かもしれない．
実のところ，ここではα “=” lim n→∞ an (3.2.5)を狙っているのである．つまり，「実数は有理コーシー列の同値類」とは言ったけども，実際には「実数はその有理コーシー列の極限」と定義したいのだ．しかし，今は実数を定義している途中であるから，考えているコーシー列は有理数の中に極限を持つとは限らない．（いや，正直，有理数の中に極限を持たないコーシー列の方が濃度の意味で多い．）これでは上の極限を使った定義はできない．仕方ないので，頭の中では「この数列の極限が実数なんだよ」と思いつつ，「この数列の同値類が実数」と言っているのである』

ここの 原隆が行っている 一旦 「実数は有理コーシー列の同値類」として → 「この数列の極限が実数なんだよ」を示す
これは、一つの証明の手筋として 覚えておくことではあるだろう、The “rigorous” stage (Tao) としてね
なお、実は有理数を完備化する方法は1通りではありません

(参考)
https://manabitimes.jp/math/2844
高校数学の美しい物語
コーシー列 更新 2023/08/31

展望〜距離空間への一般化
有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます
実は有理数を完備化する方法は1通りではありません！ 興味がある人は
p 進数 で調べてみましょう
また関数列に対してもコーシー列を考えることができます。これはまた次の機会にお話します。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/838

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