ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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74: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/22(火) 07:39:36.38 ID:6xExXHND

>>73
>モストフスキ崩壊補題なんて使わなくても直接示せるけどね

それはそうだが、”牛刀を用いて鶏を割く”だね。大定理の系として＊ 。 一般に 集合の良い順序を ∈による推移的なM に落とせる
つまり、公理的集合論では ∈による順序が重要だってことだ
(下記の Mostowski-Kollaps 独語 ご参照)
(＊：大学入試問題を 大学学部の大定理で 一発で解くみたいな。本当は、学部の大定理をつまみ食いして 入試問題を作っているらしい)

>ツェルメロの順序数で、順序の性質を満たす二項関係Ｒ
>を定義してみせなくちゃ話にならない

先にも述べたが、ある集合Aから 任意の順で元を取り出して 並べて それを 整楚な全順序とすることができる by 整列可能定理
整列可能定理の正体は、選択公理の化身です。つまり、公理だ。これが、二項関係Ｒの定義についての答えです。整列可能定理を使えばできるよと

(参考)
https://de.wikipedia.org/wiki/Mostowski-Kollaps
Mostowski-Kollaps
Der Mostowski-Kollaps (auch: Mostowski’scher Isomorphiesatz) ist ein Satz aus der Mengenlehre, der zuerst 1949 von dem polnischen Mathematiker Andrzej Mostowski formuliert wurde. Er ist vor allem bei der Konstruktion von Modellen ein wichtiges Hilfsmittel.
(google和訳を手直し)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/c/cb/Kollaps.PNG
奇数から自然数への崩壊
例
・ C{1,3,5,・・・}奇数の集合
　≪=＜ 通常の順序とする
　≪は、整楚で外延的とする。以下の写像が適用できる
　π(C)＝ω　そしてπ(2n+1)＝n 。したがって、すべての奇数は最小の自由自然数にマッピングされます。だから崩壊という名前がついたのです。
・<は 良い順序Cで π(C)を順序タイプ(C,<)として、 つまり、一意に決定された順序数(C,<)と順序同型です。したがって、モストフスキー崩壊は順序数定義の一般化として見ることができます
(原文独語)
Ist < eine Wohlordnung auf C, dann ist π(C) der Ordnungstyp von (C,<), also die eindeutig bestimmte Ordinalzahl, die zu
(C,<) ordnungsisomorph ist. Der Mostowski-Kollaps kann also als Verallgemeinerung der Ordinalzahldefinition angesehen werden.
(参考 google英訳)
Is < a good order on C , then π(C)the order type of (C,<), i.e. the uniquely determined ordinal number that (C,<)is order isomorphic. The Mostowski collapse can therefore be viewed as a generalization of the definition of ordinal numbers .

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem 整列可能定理
In mathematics, the well-ordering theorem, also known as Zermelo's theorem, states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. The well-ordering theorem together with Zorn's lemma are the most important mathematical statements that are equivalent to the axiom of choice .

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/74

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