ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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72: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/21(月) 23:36:35.24 ID:/KK7NCj8

まず、タイポ訂正
>>19
整列可能定理の示すところ 集合(A,B,C・・Z) から 元を取り出して
　↓
整列可能定理の示すところ 集合{A,B,C・・Z} から 元を取り出して
だな

さて
>ある集合から元を取り出して {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ という整列を得ることは可能（by 整列可能定理）
>この場合、よく見ると {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ となっているから、そう書くことは禁止されない（by 整列可能定理）

後の行を丁寧に書くと
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　↓
{}∈{{}},{{}}∈{{{}}},{{{}}}∈{{{{}}}},{{{{}}}}∈{{{{{}}}}},・・・
と バカ丁寧に書ける

が、まあ最初の記法で 分かるはず（面倒だから略記したのと、ある程度の数学のMMレベルなら分かるだろうねと（MM については 下記の謎の数学者氏動画ご参照。特にπ＝3 or 3.14 論争 が 重箱の隅））
MMの低いヤクザが、必死でインネンつけるの図だなｗ ；ｐ）

あと、モストフスキ崩壊補題 は 近藤友祐 https://elecello.com/doc/set/set0005.pdf （>>24）にあるが
P4
『系 9. 任意の整列集合に対し，それと順序同型な順序数が一意に存在する．したがって整列集合(M,<)の順序型type(M,<)を，“(M,<)と順序同型な唯一の順序数”として定めることができる．』
P3
『系 7(集合版モストフスキ崩壊補題). 二項関係が集合上整礎かつ外延的であると仮定する．このとき，(A,R)≅(M,∈)を満たす推移的集合がただ一つ存在する．』
など
（要するに、逆に言えば 系 9を一般化した定理が モストフスキ崩壊補題ってわけですね）

なので、下記の 自然数 で suc (a):=a ∪ {a} とするノイマンの構成では、∈による推移関係が成り立つ
一方、suc(a) := {a} と定義する上記の ツェルメロの構成では ∈による推移関係は 不成立だが
しかし、モストフスキ崩壊補題の系 7 により、ツェルメロの構成は ∈による推移的なM（推移的なノイマンの構成の順序数）と 順序同型になるってこと

(参考)
https://youtu.be/j4MNI1A4s9s?t=1
数学者としてのレベルを図る尺度は「数学的成熟度」。Mathematical Maturity, MM
謎の数学者  2021/02/21

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
suc (a):=a ∪ {a}
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[4]。
（注：こちらは ノイマンの構成）

0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる
（注：こちらは ツェルメロの構成）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/72

82: １３２人目の素数さん [] 2025/04/22(火) 09:47:55.81 ID:kLLE5N21

>>75
(引用開始)
>>ツェルメロの順序数で、順序の性質を満たす二項関係Ｒを定義してみせなくちゃ話にならない
> ある集合Aから 任意の順で元を取り出して 並べて それを 整礎な全順序とすることができる by 整列可能定理
> 整列可能定理の正体は、選択公理の化身です。つまり、公理だ。
> これが、二項関係Ｒの定義についての答えです。
> 整列可能定理を使えばできるよと
あ、このコ、全然わかってなーい
あのね、ツェルメロの順序数では元は並べられてるよ
でも二項関係∈は順序の性質の一つである推移性を満たさない
(引用終り)

ふっふ、ほっほ >>74の”Well-ordering theorem 整列可能定理”及びその関連を、百回音読してねｗ
　>>72より
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　　↓
{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・
かように、∈→R と 記号を一般の順序記号Rに置換すれば
Rについての 推移性 は、矛盾なく定義できる by 整列可能定理
そんなことは、デフォルトだから 省略して 略記しただけさ（常識の無い人には分からないだろうなｗ）

顔を洗って出直せ！ｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem 整列可能定理
In mathematics, the well-ordering theorem, also known as Zermelo's theorem, states that every set can be well-ordered. A set X is well-ordered by a strict total order if every non-empty subset of X has a least element under the ordering. The well-ordering theorem together with Zorn's lemma are the most important mathematical statements that are equivalent to the axiom of choice .

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-order
Well-order
In mathematics, a well-order (or well-ordering or well-order relation) on a set S is a total ordering on S with the property that every non-empty subset of S has a least element in this ordering.
The set S together with the ordering is then called a well-ordered set (or woset).[1]
In some academic articles and textbooks these terms are instead written as wellorder, wellordered, and wellordering or well order, well ordered, and well ordering.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
（整列順序から転送）
整列集合（せいれつしゅうごう、英: wellordered set）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 S 上の整列順序関係 (wellorder) とは、S 上の全順序関係 "≤" であって、S の空でない任意の部分集合が必ず ≤ に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 (S, ≤) を慣例に従ってしばしば単純に S で表す。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/82

100: １３２人目の素数さん [] 2025/04/23(水) 13:56:05.16 ID:OCyQxe6Y

>>91-97
なんか、急にレベルが落ちたねｗｗ　；ｐ）

(引用開始)
> ツェルメロの自然数は順序数ではない。
　正確には「ツェルメロの自然数は二項関係∈に関して順序数ではない」
ツェルメロの自然数上の∈はそもそも順序関係でない。
(引用終り)

１）まず、下記 二項関係”X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという”
　を押さえておこうね
　その上で 順序を論じるときに、下記の『順序集合 (P, ≤) に対し、≤ を台 P 上の順序関係ともいう』とあるように
　台 集合Pと 順序 ≤ とのペアで、 (P, ≤) と記すことを 思い出そう
２）順序集合の定義については、下記の ja.wikipediaのように、推移律は必須とする
　そうすると、いまツェルメロの定義した自然数 {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ >>72 の集合をNzと書くと
　（Nz,∈）は推移律を満たさないが、これを（Nz,R）と書き直して、Rが推移律を満たす(もっと言えば全順序を満たす)と定義すれば>>32 良いってことだね
３）”ツェルメロの自然数は順序数ではない”は、完全に基数と順序数を取り違えているなｗｗ
　英文法 one,two,three,・・ が基数で、first,second,third ・・ は序数(＝順序数)
　”ツェルメロの自然数は基数ではない”なら、意味が通るよね
４）なお、整列可能定理の順序についての google AI による概要回答以下の通りです ；ｐ）
『整列可能定理とは、任意の集合に整列順序を定義できるという定理です。
　つまり、どんな集合でも、各要素が順番に並ぶように順序を定めることができるということです。
　この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です。』（by "整列可能定理 順序は任意" に対する回答）
　ツッコミ お願いしますｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係
定義
二項関係 R は通常、任意の集合（または類）X, Y とそれらの直積 X × Y の部分集合 G の順序三つ組 (X, Y, G) として定義される。このとき、集合 X および Y はそれぞれこの関係の始集合 (domain) および終集合 (codomain) と呼ばれ、G はこの関係のグラフと呼ばれ、G(R) と表すこともある。
R が関係 (X, Y, G) であるとき、(x, y) ∈ G となることを、「x は y と R-関係を持つ」などといい、x R y や R(x, y) で表す。後者は、対の集合 G の指示函数として R を見ることに対応する。
始集合 X と終集合 Y が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、a ≠ b ならば a R b および b R a はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。

集合上の関係
推移的 (transitive)
X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという。
「先祖である」という関係は推移的である。実際、x が y の先祖で、y が z の先祖ならば、x は z の先祖である

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/100

231: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/26(土) 08:42:35.57 ID:2tFMGt7T

「ツェルメロ集合論」の小まとめ
１）>>180「一階の論理式」という概念はツェルメロが自身の公理系を発表した1908年には知られておらず、ツェルメロは後にこの解釈をあまりにも限定的であるとして拒絶していた
　また、”ツェルメロ集合論の二階述語論理としての解釈はおそらくツェルメロ自身の考え方に近く、一階述語論理での解釈よりも強い”
２）The axioms of Zermelo set theory>>212
　（Zermeloの無限公理）
　7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
　（google訳）
「ドメインには、空集合を要素として含む集合 Z が少なくとも 1 つ存在し、その各要素 a には形式 {a} のさらなる要素が対応するように構成されています。言い換えると、その各要素 a には、対応する集合 {a} も要素として含まれています。」
３）>>215”1930年にツェルメロは、自身とフランケルにちなんでZFと名付けた新しい公理系を提案した[ 17 ]。このシステムには、置換公理と基礎公理が含まれます。しかしながらツェルメロは、スコーレム[ 18 ]とは異なり、第一階論理の枠組みに自分自身を制限していません”
　”1966年にポール・コーエンが連続体仮説の独立性の証明に関する著書[ 25 ]で、今日行われているようなZF理論が提示されました。”
４）従って、>>72 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 より
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる
（注：こちらは ツェルメロの構成）
　これで、ツェルメロ自身の思考としては、一階述語論理に縛られない 多分 二階述語論理的考えで、
　彼は 上記”AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) 無限公理”を考えだして
　suc(a) := {a}  で、無限集合の世界ができるとしたってことだね
４）それを、全く別の後世のノイマン流のZFC（こちらは 一階述語論理しばり）とかを持ち出して、
　証明できるのできないのと 騒ぐバカがいる
　おまえ、天才 ツェルメロより賢いつもりか？ｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/231

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