ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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698: １３２人目の素数さん [] 2025/05/03(土) 08:59:58.59 ID:hWSy8C+R

>>676
ありがとね

>ガウスは実無限論者ではなかったそうだが

ガウスは、1801年『整数論の研究』(DA)出版 24才か。原稿は3年前に出来ていたらしい
1796年 19才 コンパスと定規のみで正十七角形を作図できることを証明
1801年『整数論の研究』(DA)では、レムニスケートの等分も持っていて 余白が狭いので また今度発表すると ほのめかすｗ
このとき、すでに （複素）楕円関数論はもっていたろうと 高木先生は「近世数学史談」で、ガウスの遺稿を参照しながら記している

ガウスの弟子のリーマンは、複素関数論の開祖の一人で、リーマン球面を導入した
リーマン球面には、無限遠点が付いている。だから、幾何的な無限遠点は許容して、かつ 幾何的な無限遠点が 数としては 無限大への発散だと 認識していたろう

実際、無限遠点 ←→ 無限大への発散 と捉えると
複素解析の有理型関数で、無限大の極と 分母の正則関数の零点 とが 綺麗に対応するのです

知ってたんじゃないかな？

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9
カール・フリードリヒ・ガウス
略歴と業績
1777年 - ブラウンシュヴァイクに生まれる。
1792年 - 素数定理の成立を予想。
1795年 - 最小二乗法発見。
1796年 - 平方剰余の相互法則の証明。コンパスと定規のみで正十七角形を作図できることを証明。
1799年 - 代数学の基本定理の証明。
1801年 - 『整数論の研究』出版　複素数表記、現代整数の表記導入。
1801年 - 円周等分多項式の研究。
https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
Carl Friedrich Gauss

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5_(%E8%A4%87%E7%B4%A0%E8%A7%A3%E6%9E%90)
極 (複素解析)
無限遠点での極
複素函数は無限遠点で極を持つとして定義することができる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E5%9E%8B%E9%96%A2%E6%95%B0
複素解析において、有理型関数（ meromorphic function）あるいは、関数が有理型（meromorphic）であるとは、（複素数平面あるいは連結）リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）であって極全体の集合が離散集合であるような複素関数のことを指す。
有理型関数は正則関数の商として表すことができ、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 0 ではない）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/698

699: １３２人目の素数さん [] 2025/05/03(土) 09:12:07.68 ID:hWSy8C+R

>>676
ありがとね

>ガウスは実無限論者ではなかったそうだが

追加
非ユークリッド幾何学があって、ガウスは自分でも考えていたそうだが、発表しなかった（下記）
別に、無限遠点を考える 射影幾何学（下記）があって、おそらくガウスも知っていたろう
つーか、「言われなくても分っている」状態だったかも
なので、幾何の無限遠点を通して、また 複素関数論を通して、数論ないし解析の無限大は 実感として 認識があったでしょう
但し、現代的な集合論は さすがに 考えてなかったと思われる

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
非ユークリッド幾何学

カール・フリードリヒ・ガウスは、1824年11月8日の手紙に於いて、鋭角仮定のもとで整合的な幾何学が成立する可能性を示唆し、そこにはある定数があってこれが大きいほど通常の幾何学に近づくと述べた。

ガウスの言うある定数とは、現代の言葉で言えば空間の曲率 k に対し、 -(1/k) のことである。ガウス個人は非ユークリッド幾何の存在を確信していたと見られるが公表はしていない。

非ユークリッド幾何学の成立
ベルンハルト・リーマンはリーマン球面と呼ばれる楕円幾何学のモデルを構成した。

あわせて4人が3通りの方法を発見した。その結果をまとめると以下のようになる。
略す

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%AD%A6
射影幾何学
19世紀初頭にポンスレー、ラザール・カルノーらの業績が数学の一分野としての射影幾何学を確立する[3]。その厳密な基礎付けは、カール・フォン・シュタウトによって取り組まれ、19世紀の後半にジュゼッペ・ペアノ、マリオ・ピエリ、アレッサンドロ・パドア、ジーノ・ファノらによって完成を見ることになる[4]。射影幾何学は（ユークリッド幾何学やアフィン幾何学と同じく）クラインによるエルランゲンプログラムに従った研究もなされた。これによると、射影幾何学は射影群に属する変換のもとで不変な幾何学的対象によって特徴付けられる。
歴史
ヨハネス・ケプラー (1571–1630) とジラール・デザルグ (1591–1661) はそれぞれ独立に、極めて重要な「無限遠点」の概念を作り上げた[11]。デザルグはまた、消失点の使用をそれらが無限に遠い場合を含めて一般化した投影図法の別な構成も与えている。デザルグは、平行線が真に平行となるユークリッド幾何学を特別な場合として完全に内包するような幾何学的体系を作り上げた。円錐曲線に関するデザルグの研究は、16歳のブレーズ・パスカルの関心を惹き、彼がパスカルの定理を定式化する助けとなった。それに続く射影幾何学の発展に重要な仕事は、18世紀暮れから19世紀初頭にかけてガスパール・モンジュによってなされる。デザルグの業績は1845年のミシェル・シャールによる手書きの写しに突如として現れるまでは見捨てられており、その間の1822年にジャン＝ヴィクトール・ポンスレーが射影幾何学の基礎的な論文を出版している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/699

701: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/03(土) 09:31:04.45 ID:hWSy8C+R

>>676
>ガウスの時代に集合論はなかったんで
>彼が直線を点の集合と考えてる証拠はないが

下記 数直線＝座標系としては 捉えていたのでは？
下記 In real algebras の項に、”For example, in the complex plane z = x + iy”とある
俗に言う ガウス平面（下記）ですね
複素数 vs ガウス平面
実数 vs 数直線
の認識は あったろう

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Number_line
Number line
（google訳）
数直線
数直線は、数を空間的に表現する直線のグラフィカル表現です。通常は定規のように目盛りが付けられ、特定の原点がゼロを表し、両方向に等間隔の目盛りが整数を表します。数直線上の点と数との関連は、数に対する算術演算と点間の幾何学的関係を結び付け、数学を学ぶための概念的枠組みを提供します
歴史
計算目的で数直線が初めて言及されたのは、ジョン・ウォリスの『代数学の論文』（1685年）です。 [ 2 ]ウォリスは論文の中で、数直線上での加算と減算を、人が歩くという比喩を用いて、前進と後退の観点から説明しています

ジョン・ネイピアの「対数表の記述（1616年） 」には、演算について言及されていないより古い描写があり、1から12までの値が左から右に並んでいる
一般に信じられていることとは異なり、ルネ・デカルトの原著『幾何学』には、座標系は用いられているものの、今日私たちが用いるような数直線は登場しない。特に、デカルトの著作には、線上に写像された具体的な数は含まれておらず、抽象的な量のみが記述されている

数直線を描く
数直線は通常は水平に表されますが、直交座標平面では垂直軸（y軸）も数直線になります。[ 5 ]直線上の矢印は、数が増加する正の方向を示します。[ 5 ]教科書によっては、矢印が継続を示していると示唆するために、両端に矢印を付けていますが、幾何学の規則によれば、端点のない線は正の方向と負の方向に無限に続くため、これは不要です。1つの端点を持つ線は半直線であり、2つの端点を持つ線は線分です

高度な概念
線形連続体として
距離空間として
位相空間として
ベクトル空間として
As a measure space （測度空間）

In real algebras
When A is a unital real algebra, the products of real numbers with 1 is a real line within the algebra.
For example, in the complex plane z = x + iy, the subspace {z : y = 0} is a real line. Similarly, the algebra of quaternions
q = w + x i + y j + z k
has a real line in the subspace {q : x = y = z = 0}.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2
複素平面
1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面とも呼ばれる[3]。一方、それに先立つ1806年に Jean-Robert Argand（英語版）も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram)[4] とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の Caspar Wessel（英語版）の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである[3]。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/701

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