ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

554: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 07:43:58.41 ID:/rPcBrOx

>>497
>収束列はコーシー列だがコーシー列は収束列とは限らない。実際、有理数全体の集合上で一般にコーシー列は収束列ではない。

>>506
>>3→3.1→3.14→3.141→3.1415→3.14159→3.141592→3.1415926→3.1415265→・・・
>>と 小数点以下を一桁ずつ 増やす数列で π に収束する 数列が作れるよ
>Πが存在しなければ作れないよ
>Πを定義したいのにΠの存在を前提にするバカ

スレ主です
赤ペン先生します
2025/05/01のID:OARgC/YG さん、書いていること 全部間違いですね

>>546より (引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%82%B7%E3%83%BC%E5%88%97
コーシー列は、数列などの列で、十分先の方で殆ど値が変化しなくなるものをいう
コーシー数列
無限数列 (xn) について lim n,m→∞|xn−xm|=0
が成り立つとき、数列 (xn) はコーシ−列である という
実数におけるコーシー列
実数の重要な性質の一つとして、実数全体の集合 R におけるどのようなコーシー列も必ず R 内に極限値を持つことが挙げられる
実数からなるどんなコーシー数列も収束列であるという事実は、歴史的な事情で「実数の連続性」と呼ばれる
実数列あるいは実ユークリッド空間内の点列のみに関して言うならば、それが収束することとコーシー列であることは同値となる
この場合、コーシー列は必ず収束するので、|xn − xm| を評価してコーシー列か判定すれば、極限値を仮定することなく収束性が判定できる
(引用終り)

この en.wikipediaと ja.wikipediaとを、百回音読しましょう！ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/554

625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 17:09:52.29 ID:s/7BO1KV

>>603
(引用開始)
実数＝有理コーシー列の同値類
このとき、有理数もまた実数の中に埋め込む場合「有理コーシー列の同値類」とせねばならない
もちろん大したことではないが、KKKが「細けぇこたぁ、いいんだよ」といってる限り間違いつづける
(引用終り)

下記 すでに書いたことが理解できていないようだね ；ｐ）

>>554より (引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

つまり、有理コーシー列ならば 表現の自由度が大きいから
”For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms”
を使おうってことだ

かつ、 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...) のように 最小の一桁ずつ 桁数が伸びるようにする
そうすれば、the sequence of truncated decimal expansionsで 1桁ずつの小数展開
では、表現は一通りだ

但し、99999・・・の繰上がりだけが問題になる
この場合 99999・・・の始まる直前の9で無い数を一つ繰り上げた数と同一視すれば良い
かつ、99999・・・の繰上がり問題は、有理数の集合内の問題で、無理数に対する表現とは無関係だ

だから、あなたが必死に強調している 「有理コーシー列の同値類」の問題は
1桁ずつの小数展開による コーシー列の構成（上記 en.wikipediaの通り）では、解決済みです

なお、10進は2進とか3進数にしても良い
カントールさんは、おそらく 有理数による一意化には 気づいていたのでは？
実際 下記のカントール集合では 3進数 で議論している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
カントール集合（英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。
カントールの三進集合とも呼ばれ[8]、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される[9]。

歴史的注意
カントール自身は、カントール集合を一般の抽象的手法によって定義し、三進構成は至る所疎な完全集合というより一般の概念の一例として述べたに過ぎない。原論文ではこの抽象概念の様々に異なる構成が提示されている。
この集合はカントールがそれを発案したときには既に抽象的なものと考えられていた。カントール自身は、三角級数が収束しない点全体の成す集合という実際上の懸案からカントール集合を導き出した。この発見は、カントールを無限集合に関する抽象的一般論の発展へと駆り立てるものであった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/625

762: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/03(土) 19:48:55.84 ID:hWSy8C+R

>>718 補足
>4）有理数Qによる全てのコーシー列で、同じ収束点に収束するコーシー列が複数存在する
>　そうすると 対応が 全射になる。これを全単射（1対1対応）にしたい
>　そこで、同じ収束点に収束するコーシー列をまとめて 同値類とする

有理数Qによるコーシー列だから、一つの同じ収束点に、複数のコーシー列が存在するのです
しかし、>>625より
　>>554より (引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

つまり、有理コーシー列ならば 表現の自由度が大きいから
”For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms”
を使おうってことだ

かつ、 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...) のように 最小の一桁ずつ 桁数が伸びるようにする
そうすれば、the sequence of truncated decimal expansionsで 1桁ずつの小数展開
では、表現は一通りだ
(引用終り)

このように、無限小数展開を使えば、ここから コーシー列は一意（但し 9999・・ の繰り上がりは別途処理要）
つまり、コーシー列の工夫で コーシー列の ”同値類”概念は、外せる
即ち、”同値類”概念は 必須でなく、本質でもない！ｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/762

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.039s