ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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510: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/01(木) 16:06:21.69 ID:D1rwPzBB

>>503 >>506
>僕はキモコテハン君が実数の連続性（完備性）について何も述べてないから
>そこの正確な述べ方が身についていないのかもしれないと判断したけど、

巡回ご苦労様です
キモコテハン君です

「正確な述べ方が身についていない」は、全く正しいが （＾＾
検索すれば、すぐ見つかることを書いていると、ここに転写する必要もないし ヒマもないしｗ

おっと 院試を受ける人は、基本的な事項で 口頭試問で ツッコミありそうなことは、正確な述べ方を身につけるべし！

さて 例えば Construction of the real numbers https://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers
Explicit constructions of models
抜粋
Construction from Cauchy sequences
A standard procedure to force all Cauchy sequences in a metric space to converge is adding new points to the metric space in a process called completion.
R is defined as the completion of the set Q of the rational numbers with respect to the metric |x − y| Normally, metrics are defined with real numbers as values, but this does not make the construction/definition circular, since all numbers that are implied (even implicitly) are rational numbers.[5]
Let R be the set of Cauchy sequences of rational numbers. That is, sequences
(x1, x2, x3,...)
of rational numbers such that for every rational ε > 0, there exists an integer N such that for all natural numbers m, n > N, one has |xm − xn| < ε. Here the vertical bars denote the absolute value.
略す
there exists an integer N such that for all natural numbers n > N, one has |xn − yn| < ε.
略す
The usual decimal notation can be translated to Cauchy sequences in a natural way. For example, the notation π = 3.1415... means that π is the equivalence class of the Cauchy sequence (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...). The equation 0.999... = 1 states that the sequences (0, 0.9, 0.99, 0.999,...) and (1, 1, 1, 1,...) are equivalent, i.e., their difference converges to 0.

An advantage of constructing
R as the completion of Q is that this construction can be used for every other metric space.
(引用終り)

>Πが存在しなければ作れないよ

作れるよ
上記の英文の通りで ”π = 3.1415...”は あくまで ”For example”です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/510

514: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/01(木) 16:41:46.86 ID:D1rwPzBB

>>510
余談ですが 昔々 高校時代に大学への数学で、数学小話のようなコラムで
非アルキメデス付値（三角不等式が成り立たない云々）について書いてあった記憶が

実数のデデキント切断を最初に聞いたのは 多分中一で、当時訳本が出たのだと思うが
突然 ”デデキント切断”をしゃべりだして、口をあんぐり。そのときは、「へー」とだけ思いました

大学に入学して１〜2年で、図書館で 数学セミナー、数理科学、bit誌のバックナンバー10年分を読みました
実数の構成など 毎年のように 数学セミナーに書いてあった気がします。コーシー列によるが主だった気がする

非アルキメデス付値は、下記のp進付値で Ostrowski's theorem とか
あるそうですね （加藤文元、中井保行『天に向かって続く数』）

以上 雑談でした （＾＾

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Ostrowski%27s_theorem
Ostrowski's theorem
In number theory, Ostrowski's theorem, due to Alexander Ostrowski (1916), states that every non-trivial absolute value on the rational numbers
Q is equivalent to either the usual real absolute value or a p-adic absolute value.[1]
略す
Another Ostrowski's theorem
Another theorem states that any field, complete with respect to an Archimedean absolute value, is (algebraically and topologically) isomorphic to either the real numbers or the complex numbers. This is sometimes also referred to as Ostrowski's theorem.[3]
google訳
別の定理は、アルキメデスの絶対値に関して完備な任意の体は、（代数的および位相的に）実数または複素数のいずれかと同型であると述べています。これはオストロフスキーの定理と呼ばれることもあります。[ 3 ]

https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E4%BB%98%E5%80%A4
p進付値
非アルキメデス距離

https://ja.wikipedia.org/wiki/P%E9%80%B2%E6%95%B0
p 進数（p-adic number）とは、1897年に始まるクルト・ヘンゼルの一連の研究の中で導入された[1]、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される
概要
有理数体 Q から実数体 R を構成するには、通常の絶対値の定める距離 d∞(x, y) = | x − y | に関して有理数体を完備化する必要がある。それに対し、p 進付値より定まる距離（p 進距離）dp によって有理数体を完備化したものが p 進数体 Qp である
有理数から実数を構成する過程は、小数展開に循環しない可算無限桁を許すことを意味する
p 進数体 Qp における小数展開の類似物は p 進展開である
関連文献
加藤文元、中井保行『天に向かって続く数』日本評論社、2016年9月。ISBN 978-4-535-79806-9。 - p進数の入門書

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/514

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