ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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504: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/01(木) 11:42:42.92 ID:D1rwPzBB

>>484
>いわゆる1=0.999…問題

ふっふ、ほっほ
おサルさん>>7は、常識がない アンポンタン だねｗ ；ｐ）

下記 ja.wikipedia に書いてあることくらいは、常識として 前提としようよ
さて「いわゆる1=0.999…問題」は、繰上がりの問題だよ（下記）

いま、下記 wikipedia コーシー列を用いた構成 で
有理数Q を 有限小数(いまこの集合をUとする)に置き換える
そして、>>477に示したように
円周率 π＝3.14159265・・・で
3→3.1→3.14→3.141→3.1415→3.14159→3.141592→3.1415926→3.1415265→・・・
と 小数点以下を一桁ずつ 増やす数列で π に収束する 数列が作れるよ

この場合の利点は、下記『絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a − b|』で
小数点の桁が１つ増えるごとに、収束点に およそ 1/10^n ずつ 近づくってこと
（例えば、3.14159→3.141592 で、d(a, b) = 0.000002 ≒1/10^6 だ）

この視点で
i)有限小数は、ある小数m位から先が全て0の数(集合U内)
ii)一般の有理数Qは、ある小数m位から先が循環節を持つ数
　（循環節で 3333・・のように繰り返されるものもある。0000・・ の場合は有限小数で、9999・・ の場合は 繰上がりで、一つ上位の小数の桁に1を加えた数に等しくなる。よって 繰上がりは、有理数内の問題です）
iii)無理数は、循環節を持たない 無限小数
と特徴づけできる

よって、実数Rは、10進無限小数と考えて良い（下記の”実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]”を満たすだろう。証明を書くには余白が狭い by フェルマー。思いつくであろう by ガロアｗ ；ｐ）

さて、カントールは、対角線論法>>477 で 2進無限小数展開を考えたらしい
つまり 2^N (Nは 自然数の集合 小数点以下 可算無限の桁が取れることを意味する)
これにより カントールは、『連続体である実数Rの濃度は、2^N だっぺ』と主張したというｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
概要
実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数（real number）とは、連続な量を表すために有理数を拡張した数の体系である。
実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性と呼ばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。
実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/504

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