ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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477: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/01(木) 00:04:44.85 ID:CF0szZUA

>>447
>>任意実数は 有理数からなる コーシー列の収束先として定義できる(>>331)
>なんてアホなこと言わないはずだぞ

何を言いたいのか 意味が分らんぞｗ
有理数 → 有限小数 と言い換えて
「任意実数は 有限小数からなる コーシー列の収束先として定義できる」
と言ったら なんか 文句ある？ ｗ

有限小数 ⊂ 有理数
だよね

例えば
円周率 π＝3.14159265・・・
つまり
3→3.1→3.14→3.141→3.1415→3.14159→3.141592→3.1415926→3.1415265→・・・
と 小数点以下を一桁ずつ 増やす数列で π に収束する 数列が作れるよね
そう 言ったら 文句あるか？ ｗ

そして、この数列で 有限小数 → 無限小数（有限小数の極限）だと考えたのがカントールさん
カントールは、これで 対角線論法を 考え出したことは 有名だね（下記 en.wikipedia ご参照）
但し、10進小数でなく 2進小数だったそうな

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b7/Diagonal_argument_01_svg.svg/375px-Diagonal_argument_01_svg.svg.png
An illustration of Cantor's diagonal argument (in base 2) for the existence of uncountable sets. The sequence at the bottom cannot occur anywhere in the enumeration of sequences above.

Uncountable set
Cantor considered the set T of all infinite sequences of binary digits (i.e. each digit is zero or one).[note 2] He begins with a constructive proof of the following lemma:

If s1, s2, ... , sn, ... is any enumeration of elements from T,[note 3] then an element s of T can be constructed that doesn't correspond to any sn in the enumeration.
The proof starts with an enumeration of elements from T, for example
s1 =(0,0,0,0,0,0,0,...)
s2 =(1,1,1,1,1,1,1,...)
s3 =(0,1,0,1,0,1,0,...)
s4 =(1,0,1,0,1,0,1,...)
s5 =(1,1,0,1,0,1,1,...)
s6 =(0,0,1,1,0,1,1,...)
s7 =(1,0,0,0,1,0,0,...)
...

Next, a sequence s is constructed by choosing the 1st digit as complementary to the 1st digit of s1 (swapping 0s for 1s and vice versa), the 2nd digit as complementary to the 2nd digit of s2, the 3rd digit as complementary to the 3rd digit of s3, and generally for every n, the n-th digit as complementary to the n-th digit of sn. For the example above, this yields

s1=(0,0,0,0,0,0,0,...)
s2=(1,1,1,1,1,1,1,...)
s3=(0,1,0,1,0,1,0,...)
s4=(1,0,1,0,1,0,1,...)
s5=(1,1,0,1,0,1,1,...)
s6=(0,0,1,1,0,1,1,...)
s7=(1,0,0,0,1,0,0,...)
...
s=(1,0,1,1,1,0,1,...)
By construction, s is a member of T that differs from each sn, since their n-th digits differ (highlighted in the example). Hence, s cannot occur in the enumeration.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/477

504: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/01(木) 11:42:42.92 ID:D1rwPzBB

>>484
>いわゆる1=0.999…問題

ふっふ、ほっほ
おサルさん>>7は、常識がない アンポンタン だねｗ ；ｐ）

下記 ja.wikipedia に書いてあることくらいは、常識として 前提としようよ
さて「いわゆる1=0.999…問題」は、繰上がりの問題だよ（下記）

いま、下記 wikipedia コーシー列を用いた構成 で
有理数Q を 有限小数(いまこの集合をUとする)に置き換える
そして、>>477に示したように
円周率 π＝3.14159265・・・で
3→3.1→3.14→3.141→3.1415→3.14159→3.141592→3.1415926→3.1415265→・・・
と 小数点以下を一桁ずつ 増やす数列で π に収束する 数列が作れるよ

この場合の利点は、下記『絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a − b|』で
小数点の桁が１つ増えるごとに、収束点に およそ 1/10^n ずつ 近づくってこと
（例えば、3.14159→3.141592 で、d(a, b) = 0.000002 ≒1/10^6 だ）

この視点で
i)有限小数は、ある小数m位から先が全て0の数(集合U内)
ii)一般の有理数Qは、ある小数m位から先が循環節を持つ数
　（循環節で 3333・・のように繰り返されるものもある。0000・・ の場合は有限小数で、9999・・ の場合は 繰上がりで、一つ上位の小数の桁に1を加えた数に等しくなる。よって 繰上がりは、有理数内の問題です）
iii)無理数は、循環節を持たない 無限小数
と特徴づけできる

よって、実数Rは、10進無限小数と考えて良い（下記の”実数体は実際にある意味で一意的に定まる[注 2]”を満たすだろう。証明を書くには余白が狭い by フェルマー。思いつくであろう by ガロアｗ ；ｐ）

さて、カントールは、対角線論法>>477 で 2進無限小数展開を考えたらしい
つまり 2^N (Nは 自然数の集合 小数点以下 可算無限の桁が取れることを意味する)
これにより カントールは、『連続体である実数Rの濃度は、2^N だっぺ』と主張したというｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
概要
実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0
実数（real number）とは、連続な量を表すために有理数を拡張した数の体系である。
実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性と呼ばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。
実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。
定義
実数体とは順序体であって空でない上に有界な部分集合が上限を持つようなものをいう[注 1]。実数体の元（＝要素）を実数という

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/504

778: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/03(土) 23:27:31.78 ID:hWSy8C+R

つづき

この流れを、準標準代表の場合の 1桁ずつの有限小数コーシー列で、極限が 無限小数 になることを示せば良い
そして、1桁ずつの有限小数コーシー列が 準標準代表 たり得ることは、
任意有理コーシー列において その各項で 隣り合う有理数 の 有限小数近似を作って 等価な(近似の) 標準の(小数部が1桁毎増える)有限小数コーシー列が構成できることを言えば良い
近似が適切なことは、εの調整で可能だろう

準標準代表による 1桁ずつの有限小数コーシー列を使う利点は、下記のカントール 対角線論法に直結することだ
2進の 対角線論法から、Rの濃度が2^N(Nは自然数で可算)であること 及び 非可算であることが言えるのです

再録　>>477
(実数を) 有限小数 → 無限小数（有限小数の極限）だと考えたのがカントールさん
カントールは、これで 対角線論法を 考え出したことは 有名だね（下記 en.wikipedia ご参照）
但し、10進小数でなく 2進小数だったそうな

なお、無限小数の 四則演算や極限の扱いは 思いつくであろう by ガロア。ここに記すには余白が狭い by フェルマー ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_diagonal_argument
Cantor's diagonal argument

Uncountable set
Cantor considered the set T of all infinite sequences of binary digits (i.e. each digit is zero or one).[note 2] He begins with a constructive proof of the following lemma:

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/778

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