ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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24: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/20(日) 21:17:04.34 ID:dTKHYPg5

つづき

https://elecello.com/doc/set/set0005.pdf
集合論ノート0005
モストフスキ崩壊補題 (Mostowski Collapse Lemma)
近藤友祐(@elecello )
初稿: 2018年2月22日 更新: 2019年11月24日この文書の場所： https://elecello.com/works.html
2019 年 11 月24日追記：エゴサーチしていたら，5ちゃんねるのスレッド「現代数学の系譜 工学物理雑談古典ガロア理論も読む77」にこの文書が引用されているのを見つけました*1．この文書を大幅に更新した2019年9月16日の翌日に書き込みがなされていて少し気持ち悪いですが，ただの偶然でしょうか．このスレッドでのやりとり(というか口喧嘩)の内容について特にコメントはしませんが，私はこのスレッドを含め「現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む」シリーズに書き込んだことは一切ありません．　
本稿では，集合論の推移的-モデルを作るにあたって重要な，モストフスキ崩壊補題について述べる．

https://fuchino.ddo.jp/kobe/
神戸大学での講義のページ (渕野 昌)
https://fuchino.ddo.jp/kobe/kurahashi-mostowski-updated.pdf
数理論理学特論レポート工学研究科情報知能学専攻
倉橋太志

次の定理を証明せよ．
定理2. モストフスキーの崩壊定理X : 集合，E をX 上でwell-founded かつ extensional な２項関係とする．このとき，推移的な集合M と写像f で
f :(X,E) ＊→ (M,∈) （注：＊は≒）
となるものが１意に存在する．

定理2の証明
略す

https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction, ∈-induction, also called epsilon-induction or set-induction, is a principle that can be used to prove that all sets satisfy a given property. Considered as an axiomatic principle, it is called the axiom schema of set induction.
The principle implies transfinite induction and recursion. It may also be studied in a general context of induction on well-founded relations.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/24

72: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/21(月) 23:36:35.24 ID:/KK7NCj8

まず、タイポ訂正
>>19
整列可能定理の示すところ 集合(A,B,C・・Z) から 元を取り出して
　↓
整列可能定理の示すところ 集合{A,B,C・・Z} から 元を取り出して
だな

さて
>ある集合から元を取り出して {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ という整列を得ることは可能（by 整列可能定理）
>この場合、よく見ると {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ となっているから、そう書くことは禁止されない（by 整列可能定理）

後の行を丁寧に書くと
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　↓
{}∈{{}},{{}}∈{{{}}},{{{}}}∈{{{{}}}},{{{{}}}}∈{{{{{}}}}},・・・
と バカ丁寧に書ける

が、まあ最初の記法で 分かるはず（面倒だから略記したのと、ある程度の数学のMMレベルなら分かるだろうねと（MM については 下記の謎の数学者氏動画ご参照。特にπ＝3 or 3.14 論争 が 重箱の隅））
MMの低いヤクザが、必死でインネンつけるの図だなｗ ；ｐ）

あと、モストフスキ崩壊補題 は 近藤友祐 https://elecello.com/doc/set/set0005.pdf （>>24）にあるが
P4
『系 9. 任意の整列集合に対し，それと順序同型な順序数が一意に存在する．したがって整列集合(M,<)の順序型type(M,<)を，“(M,<)と順序同型な唯一の順序数”として定めることができる．』
P3
『系 7(集合版モストフスキ崩壊補題). 二項関係が集合上整礎かつ外延的であると仮定する．このとき，(A,R)≅(M,∈)を満たす推移的集合がただ一つ存在する．』
など
（要するに、逆に言えば 系 9を一般化した定理が モストフスキ崩壊補題ってわけですね）

なので、下記の 自然数 で suc (a):=a ∪ {a} とするノイマンの構成では、∈による推移関係が成り立つ
一方、suc(a) := {a} と定義する上記の ツェルメロの構成では ∈による推移関係は 不成立だが
しかし、モストフスキ崩壊補題の系 7 により、ツェルメロの構成は ∈による推移的なM（推移的なノイマンの構成の順序数）と 順序同型になるってこと

(参考)
https://youtu.be/j4MNI1A4s9s?t=1
数学者としてのレベルを図る尺度は「数学的成熟度」。Mathematical Maturity, MM
謎の数学者  2021/02/21

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
suc (a):=a ∪ {a}
0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[4]。
（注：こちらは ノイマンの構成）

0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる
（注：こちらは ツェルメロの構成）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/72

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