ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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2: １３２人目の素数さん [] 2025/04/17(木) 23:16:14.34 ID:a3KzsPE4

つづき

メモ
https://www.iwanami.co.jp/book/b374907.html
岩波科学ライブラリー
ガロアの論文を読んでみた
時代を超越していたガロアの第1論文．その行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

https://www.iwanami.co.jp//images/book/374907.jpg

著者 金　重明 著
刊行日 2018/09/21

試し読み
https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0296770.pdf

この本の内容
決闘の前夜，ガロアが手にしていた第1論文．方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は，まさに時代を超越するものだった．置換の定式化にはじまり，ガロア群，正規部分群の発見をへて，方程式が代数的に解ける条件の証明へ．簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．

http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois01.html
ガロア理論 Galois theory

第一論文
ガロアの第一論文は、「方程式が代数的に解けるための必要十分条件」を【原理】と【応用】で論じている。
ここでは【原理】の部分を確認する。1831年当時「群」・「体」の用語がなく、ガロアは「群」・「体」という言葉は使わなかったが、ここでは「群」・「体」という用語を使って説明する。

概要
第一論文は、
・定義（可約と既約）
・定義（置換群）
・補題１（既約多項式の性質）→補題２（根でつくるV）→補題３（Ｖで根を表す）→補題４（Ｖの共役）
・定理１（「方程式のガロア群」の定義）
・定理２（「方程式のガロア群」の縮小）
・定理３（補助方程式のすべての根を添加）
・定理４（縮小したガロア群の性質）
・定理５（方程式が代数的に解ける必要十分条件）
というストーリーで進みます。

http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois02.html
ガロア理論 Galois theory

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/2

381: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 10:14:10.29 ID:R0QaAHkm

>>359
(引用開始)
　例え方が間違ってるよ　正しい例え方はこう
> 列 {}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ を構成する各要素が集合だからといって
> その極限が集合に限る必要ない
つまり、君のいう「無限重括弧」は集合とは限らんし、実際にそう
君だけがそれを理解せず、いや集合だ！俺の直感がそういってる！俺の直感は正しい！と吠えてる
でも君の直感は正則性公理と矛盾するから、背理法で否定される
(引用終り)

ここ 正則性公理 は、大事だから 血祭りに上げるとｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
略す
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない[1]。
・∀x ≠ ∅ に対して、∃y∈x; x ∩ y = ∅
・∀xについて、∈ が x 上 整礎関係
・V = WF
ここで、V は集合論の宇宙を指し、WF は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。
(引用終り)

上記で 二番目の”∀xについて、∈ が x 上 整礎関係”を考えよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]
(引用終り)

おサルさんは、ここの”真の無限降下列をもたないことである”を 誤読して
”無限降下列をもたない”と思い込んでいるんだろう （過去に おサルと別の数学科生との論争で おサルはコテンパンにされたよね）

つまり、自然数Nで
0<1<2<3・・・<ω （ωは極限順序数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0）
これは、無限列だが 無限上昇列であって、上記の”真の無限降下列”とは、意味が違う

0>-1>-2>-3・・・
これは、”真の無限降下列”だね
（0が空集合 <が∈ と思え）

つまり、正則性公理は ∈ による 二項関係で 空集合 ∅ より 下を禁止している ってことです
（正則性公理によって、∈ による 二項関係は 上昇列のみになり ”真の無限降下列”は 存在しえないのです）
おサルさんは、正則性公理を、盛大に誤解＆誤読していたのですｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/381

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