ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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100: １３２人目の素数さん [] 2025/04/23(水) 13:56:05.16 ID:OCyQxe6Y

>>91-97
なんか、急にレベルが落ちたねｗｗ　；ｐ）

(引用開始)
> ツェルメロの自然数は順序数ではない。
　正確には「ツェルメロの自然数は二項関係∈に関して順序数ではない」
ツェルメロの自然数上の∈はそもそも順序関係でない。
(引用終り)

１）まず、下記 二項関係”X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという”
　を押さえておこうね
　その上で 順序を論じるときに、下記の『順序集合 (P, ≤) に対し、≤ を台 P 上の順序関係ともいう』とあるように
　台 集合Pと 順序 ≤ とのペアで、 (P, ≤) と記すことを 思い出そう
２）順序集合の定義については、下記の ja.wikipediaのように、推移律は必須とする
　そうすると、いまツェルメロの定義した自然数 {},{{}},{{{}}},{{{{}}}},・・・ >>72 の集合をNzと書くと
　（Nz,∈）は推移律を満たさないが、これを（Nz,R）と書き直して、Rが推移律を満たす(もっと言えば全順序を満たす)と定義すれば>>32 良いってことだね
３）”ツェルメロの自然数は順序数ではない”は、完全に基数と順序数を取り違えているなｗｗ
　英文法 one,two,three,・・ が基数で、first,second,third ・・ は序数(＝順序数)
　”ツェルメロの自然数は基数ではない”なら、意味が通るよね
４）なお、整列可能定理の順序についての google AI による概要回答以下の通りです ；ｐ）
『整列可能定理とは、任意の集合に整列順序を定義できるという定理です。
　つまり、どんな集合でも、各要素が順番に並ぶように順序を定めることができるということです。
　この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です。』（by "整列可能定理 順序は任意" に対する回答）
　ツッコミ お願いしますｗｗｗ　；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E9%96%A2%E4%BF%82
二項関係
定義
二項関係 R は通常、任意の集合（または類）X, Y とそれらの直積 X × Y の部分集合 G の順序三つ組 (X, Y, G) として定義される。このとき、集合 X および Y はそれぞれこの関係の始集合 (domain) および終集合 (codomain) と呼ばれ、G はこの関係のグラフと呼ばれ、G(R) と表すこともある。
R が関係 (X, Y, G) であるとき、(x, y) ∈ G となることを、「x は y と R-関係を持つ」などといい、x R y や R(x, y) で表す。後者は、対の集合 G の指示函数として R を見ることに対応する。
始集合 X と終集合 Y が同じ場合であっても、対の各要素の順番は重要で、a ≠ b ならば a R b および b R a はそれぞれ独立に真にも偽にもなりうる。

集合上の関係
推移的 (transitive)
X の各元 x, y, z について、x R y かつ y R z ならば x R z となるとき、関係 R は推移的であるという。
「先祖である」という関係は推移的である。実際、x が y の先祖で、y が z の先祖ならば、x は z の先祖である

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/100

107: １３２人目の素数さん [] 2025/04/23(水) 14:33:49.23 ID:OCyQxe6Y

>>93
(引用開始)
>”自然数全体の成す集合 N が通常の大小関係 "<" に関して整列集合となるという事実は、一般に整列原理と呼ばれる”とある
>”{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・”は、ツェルメロの順序数の構成だから、整列であることは 整列原理の通り
そのままでは２行目はアウトね
Ｒ＝∈なら、∈は順序の性質を満たさないから、順序数の構成ができてない
Ｒ≠∈なら、Ｒを具体的に定義せねば、順序数の構成ができてない
>別に、”（選択公理に同値な）整列可能定理”によるとしてもよい
全然トンチンカン　そういう馬鹿文は書かないのが利口
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
１）>>100より”整列可能定理の順序についての google AI による概要回答以下の通りです ；ｐ）
『整列可能定理とは、任意の集合に整列順序を定義できるという定理です。
　つまり、どんな集合でも、各要素が順番に並ぶように順序を定めることができるということです。
　この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です。』（by "整列可能定理 順序は任意" に対する回答）”
　つまり、（任意の）ある集合について、 ”この順序は任意に定めることができ、選択公理と同値な命題です”よね
２）下記の集合についての記法で おおまかに2通りの方法がある
　要素を列記して {1,3,5,7,9} と表記する方法
　{ x | x は 10 未満の正の奇数 }と表記する方法 、抽象的には
　条件 P(x) があったとき、それをみたす対象だけを全て集めた集合を、
　{x ｜ P(x)}と表記する
３）つまり、>>92の”{} R {{}} R {{{}}} R {{{{}}}} R ・・・”は、外延的記法で 順序を列記したと思え！！ｗ ；ｐ）
　それを、集合論ど素人が 内包表記でないから といって ばかなイチャモンつけているとしか思えない
　なお、内包表記でなら カッコ{}の多重度を使って
　{} ：{}多重度1→ 順序数0
　{{}} ：{}多重度2→ 順序数1
　{{}}} ：{}多重度3→ 順序数2
　{{{{}}}}：{}多重度4→ 順序数3
　・
　・
かように、ツェルメロ定義の順序数の各元のカッコ{}の多重度から 順序数への対応がつく
この順序数による整列を、ツェルメロの定義の順序数の順序Rの定義としてもいい■

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88
集合
記法
集合の記法には、おおまかに2通りの方法がある。論理的な概念として「内包と外延」というものがある
その要素をすべて列挙するという方法と、その集合に含まれるのであれば必ず満たされ、含まれないのであれば必ず満たされない条件を明示するという方法である
「外延」に相当する、すべて列挙する方法では、例えば、1, 3, 5, 7, 9 からなる集合は
{1,3,5,7,9} と表記する
「内包」に相当する、属するために満たすべき条件を明示する方法では、例えば、10 未満の正の奇数全体の集合を
{ x | x は 10 未満の正の奇数 }
と表記する。一般に、条件 P(x) があったとき、それをみたす対象だけを全て集めた集合を
{x ｜ P(x)}
と表記する。ここでは x という変数を用いているが、{ y | P(y)} と書いても { a | P(a)} と書いても構わない。日本語では内包表記などとも言う

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/107

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