ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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562: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 10:20:09.49 ID:s/7BO1KV

>>559
5ch 数学便所板には
へんなやつがいるなｗ ；ｐ）

こんな場末の便所板で、実数論を白紙の状態から議論する態度がおかしくね？
例えば、>>446より再録

https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研 「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_16.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1(22:21)
第16章整数・有理数・実数
前章では順序数を用いて自然数を定義しペアノの公理によって自然数を特徴づけたさらに自然数に加法・乗法・順序を導入して代数系としての基本的な性質を証明した本章では代数系の観点から自然数を拡大して整数と有理数を導入しデデキントの切断を用いて実数を構成する
(引用終り)

ここにあるように、実数論は約150年の歴史がある
歴代のトップの数学者たちがそれぞれ数十年の心血をそそいで
実数とは何かを 論じたのです

その上澄みが 尾畑研 ”第16章整数・有理数・実数”
例えば、これを土台に議論すれば良いだろう
（便所板で、素人同士で 数日ないし数週間限りのヨタった議論をしても 時間の無駄）

さて、尾畑研 ”第16章整数・有理数・実数”
P247 16.3 実数
とあって
・デデキントの切断
P255
・実数の連続性
定理16.20(デデキントの連続性定理)
P256
・極限
定理16.22 (有界な単調列の収束)
定理16.23(区間縮小法の原理)
P258
・実数の無限小数展開
とつづくのです

さて
デデキントの切断 をコーシー列に置き換える議論は
　>>446より
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/index-j.html
https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/07/realnumbers.pdf
実数の構成に関するノート∗原　隆　（九州大学数理学研究院）
九州大学2006,2007年春学期「数学II」「微分積分学・同演習A」への補足
これで
3実数の構成ふたたび（有理数の完備化による）22
3.2コーシー列による実数の定義. . . . . . . 22
4実数の２つの構成法の同等性44
5実数の一意性53

などを補えばいいっぺ
落ちコボレさんは、上記を百回音読してねｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/562

570: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 10:57:34.76 ID:s/7BO1KV

>>559-561
>ヨミが足りないのかもしれない

なるほど
囲碁で、教えてもらうとは・・
実際に一番打ってもらうことを指す

まあ、数学で言えば ゼミをやって 発表にツッコミを入れてもらうってことですかね
別に、大局観がある 下記 Terence Tao ”3.The “post-rigorous” stage”の
”intuition, and the “big picture””ですね
これは、一般にテキストには書かれない場合が多い

どちらにせよ、この便所板で ゼミ風とか  ”intuition, and the “big picture””の指導は難しいだろう
ただ、たまに ポロと漏らす プロ数学者の一言に 聞く方が 反応できるかどうかだろう

”ヨミ”は、（数学も囲碁も）普通は自分で鍛えるしかない
詰め碁や 手筋の問題を解く。数学では、テキストの練習問題や、いろんなテキスト（囲碁なら棋譜）を読む

”ヨミ”の力を強くする本 なんてのもあります
強い人の対局を そばで見ているだけでも ”ヨミ”の力があがり、筋が良くなるものですよ
数学も類似では？

なんか、私見だが 初段にもならない オチコボレさんの初級者がグダグダと言っているだけの気がするのは
私だけだろうか？ｗ ；ｐ）

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1745503590/6
下記を あっちのスレに書いておきましたが
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744330968/77
「マセマはなぜ批判されるのか」
>マセマぐらいのことしかやってないアメリカの学部卒に院であっというまに追い抜かされるのが日本の高等教育。
従来の日本の数学高等教育は、厳密病だった
米では、Terence Taoなどが 「3.The “post-rigorous” stage」を提唱している
「3.The “post-rigorous” stage」を意識して成長するか
それとも レベル2の”厳密”(rigorous”)で成長が止まるか
の違いでは？
(参考)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/570

605: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 16:05:22.35 ID:s/7BO1KV

>>593
>数学の世界に権威は存在しない

うむ
”数学の世界に権威は存在しない”ね

さて 下記の
ゲーデルの不完全性定理 第二不完全性定理より
"初等的な自然数論"を含む理論 Tが無矛盾ならば，
Tの無矛盾性を表す命題 Con(T) がその体系で証明できない
(引用終り)

つまり 間違いを示すことの方が、簡単な場合が多い
証明や理論が正しいことの証明は、以外と難しいものだ

（正しい場合の）証明の真偽の検証は しばしば 時間が解決するもの(望月IUTとかね)
別に  下記 ”枯れた技術（かれたぎじゅつ）”とか言われる
『広く使われることで信頼性が高くなった技術のこと』だ

御大が正しいことの証明は、難しくてできないがｗ
多変数複素関数論は、１変数複素関数論が使われ、それには複素数が使われ、実解析が使われ、実数が使われる らしいｗ
また 東大での教養課程と京大での教養課程と ２度 基礎数学の単位を取ったろうし

さらに、N大で教鞭をとったそうな
つまりは、プロの御大には”実数の構成”など、”枯れた技術（かれたぎじゅつ）”だってことだろう

そこに突っかかるのは、取れない石を取りかけるみたいな話になるだろうよ
ちょっと、形成判断が狂っている気がするけどねｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
第二不完全性定理 ―
"初等的な自然数論"を含む理論 Tが無矛盾ならば，
Tの無矛盾性を表す命題 Con(T) がその体系で証明できない。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9E%AF%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%8A%80%E8%A1%93
枯れた技術（かれたぎじゅつ）は、広く使われることで信頼性が高くなった技術のこと。多くのケースや実用でテストされているため、安心して使用することができる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/605

625: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 17:09:52.29 ID:s/7BO1KV

>>603
(引用開始)
実数＝有理コーシー列の同値類
このとき、有理数もまた実数の中に埋め込む場合「有理コーシー列の同値類」とせねばならない
もちろん大したことではないが、KKKが「細けぇこたぁ、いいんだよ」といってる限り間違いつづける
(引用終り)

下記 すでに書いたことが理解できていないようだね ；ｐ）

>>554より (引用開始)
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_sequence
Cauchy sequence
In real numbers
For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms a Cauchy sequence. For example, when
r=π, this sequence is (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). The mth and nth terms differ by at most
10^(1−m) when m < n, and as m grows this becomes smaller than any fixed positive number ε.
(引用終り)

つまり、有理コーシー列ならば 表現の自由度が大きいから
”For any real number r, the sequence of truncated decimal expansions of r forms”
を使おうってことだ

かつ、 (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...) のように 最小の一桁ずつ 桁数が伸びるようにする
そうすれば、the sequence of truncated decimal expansionsで 1桁ずつの小数展開
では、表現は一通りだ

但し、99999・・・の繰上がりだけが問題になる
この場合 99999・・・の始まる直前の9で無い数を一つ繰り上げた数と同一視すれば良い
かつ、99999・・・の繰上がり問題は、有理数の集合内の問題で、無理数に対する表現とは無関係だ

だから、あなたが必死に強調している 「有理コーシー列の同値類」の問題は
1桁ずつの小数展開による コーシー列の構成（上記 en.wikipediaの通り）では、解決済みです

なお、10進は2進とか3進数にしても良い
カントールさんは、おそらく 有理数による一意化には 気づいていたのでは？
実際 下記のカントール集合では 3進数 で議論している

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
カントール集合（英: Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 [0, 1] に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者ヘンリー・ジョン・スティーヴン・スミス（英語版）により発見され[1][注釈 1][4][5]、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された[6][7]:65。
カントールの三進集合とも呼ばれ[8]、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される[9]。

歴史的注意
カントール自身は、カントール集合を一般の抽象的手法によって定義し、三進構成は至る所疎な完全集合というより一般の概念の一例として述べたに過ぎない。原論文ではこの抽象概念の様々に異なる構成が提示されている。
この集合はカントールがそれを発案したときには既に抽象的なものと考えられていた。カントール自身は、三角級数が収束しない点全体の成す集合という実際上の懸案からカントール集合を導き出した。この発見は、カントールを無限集合に関する抽象的一般論の発展へと駆り立てるものであった。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/625

639: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/05/02(金) 18:08:02.93 ID:s/7BO1KV

>>592
(引用開始)
「有理コーシー列の収束先」
というものに意味を持たせるために
「新たに」実数というものを定義する。
(引用終り)

釈迦に説法だが、昔 零の発見 岩波新書 吉田洋一（下記）
があって、中学１〜２年だったか 話題にもなったし 図書館にもあったが
私は読まなかったが 表紙や背表紙は見た記憶がある

さて、分数は 古代エジプトやメソポタミアで 数千年前から使われた
当時の実数とは、分数 即ち有理数だろうが 負数はまだなかったろう

面積（あるいは 直角三角形とか）の問題から、平方数が問題になり √2が 有理数で無いことに気づく
また、体積(立方)の問題から、3乗根が コンパスと定規で 描けないことも 問題とされた

超越数が問題になったのは、代数的数の範囲が明確になってからでしょうね（ガロア以降）
虚数単位i は、三次方程式の解法から

かように、実数の範囲は、数学の発展によって拡張されてきた
カントールやデデキントは、集合論の立場から 実数を定義しようとした

その一つが、カントールの有理コーシー列による 実数の定義
それを一言で言えば、冒頭の表現になるだろう

まあ、これが分からないという人は
零の発見 岩波新書 吉田洋一でも 音読してくれたまえｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.iwanami.co.jp/book/b267041.html
零の発見 岩波新書
吉田洋一 1979/04/20
インドにおける零の発見は，人類文化史上に巨大な一歩をしるしたものといえる．その事実および背景から説き起こし，エジプト，ギリシャ，ローマなどにおける数を書き表わすためのさまざまな工夫，ソロバンや計算尺の意義にもふれながら，数学と計算法の発達の跡をきわめて平明に語った，数の世界への楽しい道案内書．
目次
零の発見 アラビア数字の由来
直線を切る 連続の問題

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%89%E7%94%B0%E6%B4%8B%E4%B8%80
吉田 洋一（1898年〈明治31年〉7月11日 - 1989年〈平成元年〉8月30日）は、日本の数学者
数学教育に関して
・1939年に出版された『零の発見』（岩波新書）は、吉田の名を有名にした本で、数学の読み物として現在でも多くの人に読まれている。しかし内容には間違いが多い。まず標題に基づく内容はあくまで「ゼロ（0）という記号を最初に使用したのはインド人」というのみであって
ゼロを発見・発明したのはインドではない。
本書では触れられていないが中国では紀元前14世紀に十進法を使用開始し、紀元前4世紀にはゼロを空位で表現した位取り記数法を使用していた。また本書では小数の使用は欧州で16世紀に開始されたと書かれているが、中国では紀元前にすでに小数を用いており、現存する最古の小数は紀元5年の日付のある劉歆による体積の標準単位に関する碑文にある「9.5」である。
16世紀欧州の数学者は小数を中国から学んで使用した[1]。本書に記述された内容は戦前の日本における理解であり、現在の常識とはかけ離れている。
・戦前に書かれた『函数論』（岩波全書）も長く読まれた本で、この本は細部にまで気が配ってあり、本の構成方法などが、後の数学書の模範となったとされている

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/639

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