[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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838(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)08:49 ID:Y7s/vlgi(1/10) AAS
>>837
>実数が未定義なら有理コーシー列は収束しないという初歩の初歩も分かってないおサルが
やれやれ
下記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
を 百回音読してねｗ
これが、下記Terence Taoの 3.The “post-rigorous”、 stage intuition, and the “big picture”
省18
839: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)08:50 ID:Y7s/vlgi(2/10) AAS
つづき
>>316より
外部ﾘﾝｸ:terrytao.wordpress.com
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
省3
843(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)09:35 ID:Y7s/vlgi(3/10) AAS
>>838 補足
> ”高校数学の美しい物語 コーシー列”
>『有理数の集合に実数の元を追加していくと実数の集合が得られます。このように完備ではない集合に元を追加して完備な集合にする操作を完備化といいます』
Terence Taoのいう“big picture”は
上記の ”高校数学の美しい物語 コーシー列”のとおりです
有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
これで、有理数が完備化される（作った実数の集合による コーシー列 の収束は、また実数内となる（完備））
省48
844(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)09:45 ID:Y7s/vlgi(4/10) AAS
>>842
ご苦労さまです
世界的な数学者のコメントが頂けるのは ありがたいことです
御大もお忙しいのでしょうね
だいたいコメントが付くのは
”これは ちょっと看過できない”って場合でしょう
>>718についてどう思っているかは 不明
省3
848(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)11:02 ID:Y7s/vlgi(5/10) AAS
>>841
>>>838は典型的おサル構文：コピペ内容は正しいがそれを含むレスは間違い
5ch便所板 おミソのスレ主です
いや、だから そのぉ〜ｗ
それで 良いんじゃね？
コピペの方を見て貰えれば それで
で、地の文をみて 間違っていれば
省1
850(3): 05/05(月)11:08 ID:Y7s/vlgi(6/10) AAS
>>845
a)有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）
この二つの文は数学的に 同値
a)有理数のコーシー列を使って、実数の元を追加していくと実数の集合が得られる
↓↑
b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）
省3
857(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)11:34 ID:Y7s/vlgi(7/10) AAS
>>850 補足
b)有理数のコーシー列の収束先を元として追加する（実数の集合が得られる）
これで、有理数のコーシー列の収束先を元として追加してできる集合をXと名付けるとして
集合をXが、実数Rと数学的に同じであることを言えば良い
そのために、>>838 実数の構成に関するノート∗原隆（九州大） では
有理数のコーシー列の収束先を元 を、一旦 コーシー列の同値類として 考えて
そこから 再度 極限を定義して それが 有理数のコーシー列の収束先を元 だとして
省4
865: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)13:57 ID:Y7s/vlgi(8/10) AAS
例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する
866(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)14:05 ID:Y7s/vlgi(9/10) AAS
>>857
魔法の呪文”完備化の普遍性”
”そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する”
アーメン！ ；ｐ）
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
完備距離空間
省10
867: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 05/05(月)14:06 ID:Y7s/vlgi(10/10) AAS
つづき
実数全体の成す集合を、有理数全体の成す集合の通常の絶対値で測った距離に関する完備化として得る、カントールによる実数の構成法は、上記の構成法と同様だが、実数の構成において実数自身の完備性を用いることは論理的に許されないという問題に慎重に取り組まねばならない。そうは言っても、上記と同じくコーシー列の同値類を定義して、その同値類全体の成す集合が有理数の全体を部分体として含む体を成すことを示すのは容易である。この新しい体は完備であり、自然な全順序を備え、同型を除いて唯一の完備全順序体となる。こうして実数全体の成す体が「定義」される（より詳しくは実数の構成法（英語版）の項も参照のこと）。こうして作った実数と普段見慣れた実数とが同一視できるということを実感する一つの方法は、その実数を極限として与える「はず」の有理コーシー数列の同値類を同定することである。例えば実数の十進小数展開を途中で打ち切ることによりコーシー列を得ることは、対応する同値類に属するコーシー列を一つ選ぶことに相当する。
素数 p に対する p-進数は、上記とは異なる距離関数に関して有理数の集合を完備化することによって生じる。
先の完備化の構成法をノルム線型空間に施せばもとの空間を稠密部分空間として含むバナハ空間が得られ、内積空間に施せば元の空間を稠密部分空間として含むヒルベルト空間が得られる。
(引用終り)
以上
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