[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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211(1): 04/25(金)20:29 ID:Cs3PUAuZ(1/5) AAS
>>201
>コンドラチェフじゃないけど自分の身の丈にあった数学をするといいよ。焦る必要はない。永遠はすぐそこ。
”コンドラチェフ”は、下記の経済学の理論ですね？
”自分の身の丈にあった数学をするといいよ”は、まさに おサルさん>>7-12 に、ピタリ当てはまりますｗ ；ｐ）
”鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；”>>7
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省8
212(3): 04/25(金)20:43 ID:Cs3PUAuZ(2/5) AAS
>>180 つづき （慌てるな）
ホイヨ
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Zermelo set theory
The axioms of Zermelo set theory
The axioms of Zermelo set theory are stated for objects, some of which (but not necessarily all) are sets, and the remaining objects are urelements and not sets. Zermelo's language implicitly includes a membership relation ∈, an equality relation = (if it is not included in the underlying logic), and a unary predicate saying whether an object is a set. Later versions of set theory often assume that all objects are sets so there are no urelements and there is no need for the unary predicate.
7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
省6
213: 04/25(金)20:43 ID:Cs3PUAuZ(3/5) AAS
つづき
The aim of Zermelo's paper
A non-constructivist argument for their consistency goes as follows. Define Vα for α one of the ordinals 0, 1, 2, ...,ω, ω+1, ω+2,..., ω·2 as follows:
・V0 is the empty set.
・For α a successor of the form β+1, Vα is defined to be the collection of all subsets of Vβ.
・For α a limit (e.g. ω, ω·2) then Vα is defined to be the union of Vβ for β<α.
Then the axioms of Zermelo set theory are consistent because they are true in the model Vω·2. While a non-constructivist might regard this as a valid argument, a constructivist would probably not: while there are no problems with the construction of the sets up to Vω, the construction of Vω+1 is less clear because one cannot constructively define every subset of Vω. This argument can be turned into a valid proof with the addition of a single new axiom of infinity to Zermelo set theory, simply that Vω·2 exists. This is presumably not convincing for a constructivist, but it shows that the consistency of Zermelo set theory can be proved with a theory which is not very different from Zermelo theory itself, only a little more powerful.
省2
214: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/25(金)20:49 ID:Cs3PUAuZ(4/5) AAS
>>212 つづき （慌てるな）
ホイヨ
外部ﾘﾝｸ:fr.wikipedia.org
Théorie des ensembles de Zermelo（仏語）
（google訳）
公理的集合論の進化
1908年のツェルメロのテキストでは、順序付きペア( a、 b )の概念を翻訳する、ドメイン𝔅の対象である集合は提案されていない。順序付きペア（またはカップル）は、（ a、 f（a ））という形式の順序付きペアから形成されるグラフによって関数fを表すために使用できます。順序付き対は1914年にハウスドルフによって集合として登場し[ 11 ] 、関数と関数グラフを同化することで、集合の概念に関数の概念を含めることが可能になった。
省2
215(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 04/25(金)20:49 ID:Cs3PUAuZ(5/5) AAS
つづき
1923年にはすでに[ 15 ]、フォン・ノイマンはカントールの順序数に対する新しい概念を提案していた。これはカントールが順序付き集合の順序型の抽象化から定義したものだ。フォン・ノイマンは順序数を集合論の公理を通じて導入された特定の集合とみなします。これは空集合 0から始まり、次に順序数 1のシングルトン {0}が続き、その後に順序数2 のペア{0,{0}}が続きます 。したがって、順序数 2 には0 と 1 が要素として含まれます。各順序数n (集合) の後には、その順序数 n が続き、これはn ∪ { n } の和として定義されます。これ以上説明を進めるつもりはありませんが、順序数 ω はすべての有限順序数を含む最小の順序数であり、ω+1 = ω ∪ { ω } などが続く最初の無限順序数であると付け加えることができます。その後、フォン・ノイマンは置換公理を使用して、順序数帰納法によって集合を定義する強力な方法を開発しました。この方法は、集合論に関する現在の書籍[ 16 ]でも今でも高い位置を占めています。
1930年にツェルメロは、自身とフランケルにちなんでZFと名付けた新しい公理系を提案した[ 17 ]。このシステムには、置換公理と基礎公理が含まれます。しかしながらツェルメロは、スコーレム[ 18 ]とは異なり、第一階論理の枠組みに自分自身を制限していません。 1908 年と同様に、ツェルメロは、集合ではなく要素を含まないドメインのオブジェクトである 原素の存在を認めています。これらの対象は現在では集合論から省略されることが多い[ 19 ]。
ゲーデルとバーナイズによるGB [ 20 ]（またはBG [ 21 ] ）公理系は1940年以前に登場し[ 22 ]、ZFの拡張である。 GB言語にはセット変数とクラス変数があります（クラス変数は特定のセットファミリーを表現するものと考えることができます[ 23 ]）。しかし、集合のみに関係し、GBで証明できる命題はZFでも証明できる[ 24 ]。
1966年にポール・コーエンが連続体仮説の独立性の証明に関する著書[ 25 ]で、今日行われているようなZF理論が提示されました。
(引用終り)
以上
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