ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16 (1002ﾚｽ)
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231: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/26(土) 08:42:35.57 ID:2tFMGt7T

「ツェルメロ集合論」の小まとめ
１）>>180「一階の論理式」という概念はツェルメロが自身の公理系を発表した1908年には知られておらず、ツェルメロは後にこの解釈をあまりにも限定的であるとして拒絶していた
　また、”ツェルメロ集合論の二階述語論理としての解釈はおそらくツェルメロ自身の考え方に近く、一階述語論理での解釈よりも強い”
２）The axioms of Zermelo set theory>>212
　（Zermeloの無限公理）
　7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
　（google訳）
「ドメインには、空集合を要素として含む集合 Z が少なくとも 1 つ存在し、その各要素 a には形式 {a} のさらなる要素が対応するように構成されています。言い換えると、その各要素 a には、対応する集合 {a} も要素として含まれています。」
３）>>215”1930年にツェルメロは、自身とフランケルにちなんでZFと名付けた新しい公理系を提案した[ 17 ]。このシステムには、置換公理と基礎公理が含まれます。しかしながらツェルメロは、スコーレム[ 18 ]とは異なり、第一階論理の枠組みに自分自身を制限していません”
　”1966年にポール・コーエンが連続体仮説の独立性の証明に関する著書[ 25 ]で、今日行われているようなZF理論が提示されました。”
４）従って、>>72 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0 自然数 より
0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる
（注：こちらは ツェルメロの構成）
　これで、ツェルメロ自身の思考としては、一階述語論理に縛られない 多分 二階述語論理的考えで、
　彼は 上記”AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) 無限公理”を考えだして
　suc(a) := {a}  で、無限集合の世界ができるとしたってことだね
４）それを、全く別の後世のノイマン流のZFC（こちらは 一階述語論理しばり）とかを持ち出して、
　証明できるのできないのと 騒ぐバカがいる
　おまえ、天才 ツェルメロより賢いつもりか？ｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/231

308: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/27(日) 19:39:45.57 ID:ZZby/myn

>>179
(引用開始)
ツェルメロの自然数が大好きなおサルへの問題
{},{{}},{{{}}},・・・をツェルメロの自然数と呼ぶ。以下を証明せよ。
略
６．ZFにおいて集合{{・・・{}・・・}}（無限重括弧）は存在しない。
(引用終り)

なんか、臭くないか？
なんか、素人臭くないか？ｗ ；ｐ）

Dedekindが主張した ”無限（集合）の存在証明”を 渕野昌先生は 批判している（>>275）
本質的に、”無限（集合）の存在”というものは、他の公理から独立だと

そして、ツェルメロは 彼の自然数の定義として
後者関数 suc(a) で、0 := {}, suc(a) := {a} と定義した(>>12)
そうして、ツェルメロは彼の無限公理を 下記のように定義した

https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory （>>212より）
Zermelo set theory
（Zermeloの無限公理）
　7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."

もし、{a}が有限個で終われば、有限集合しか構成できないから
無限公理として機能するためには、{a}が無限個存在しなければならない
ということだね（当然 ツェルメロは そう考えていたはず）

そして、再度 『本質的に、”無限（集合）の存在”というものは、他の公理から独立だ』ということを強調しよう
ZFの公理系として、ノイマンの無限公理を採用したとして、ノイマンの無限公理から ツェルメロの無限が導けないことは ありうるだろう
しかし それは、ツェルメロの無限が ノイマンの無限公理からの 独立を意味するだけで、決して ツェルメロの無限を否定するものではない

再度 下記を参考に添えておく
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory
Zermelo set theory
Connection with standard set theoryThe axiom of infinity is usually now modified to assert the existence of the first infinite von Neumann ordinal ω; the original Zermelo axioms cannot prove the existence of this set, nor can the modified Zermelo axioms prove Zermelo's axiom of infinity.[2] Zermelo's axioms (original or modified) cannot prove the existence of Vω as a set nor of any rank of the cumulative hierarchy of sets with infinite index. In any formulation, Zermelo set theory cannot prove the existence of the von Neumann ordinal ω⋅2, despite proving the existence of such an order type; thus the von Neumann definition of ordinals is not employed for Zermelo set theory.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/308

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