ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ16

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308: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/27(日) 19:39:45.57 ID:ZZby/myn

>>179
(引用開始)
ツェルメロの自然数が大好きなおサルへの問題
{},{{}},{{{}}},・・・をツェルメロの自然数と呼ぶ。以下を証明せよ。
略
６．ZFにおいて集合{{・・・{}・・・}}（無限重括弧）は存在しない。
(引用終り)

なんか、臭くないか？
なんか、素人臭くないか？ｗ ；ｐ）

Dedekindが主張した ”無限（集合）の存在証明”を 渕野昌先生は 批判している（>>275）
本質的に、”無限（集合）の存在”というものは、他の公理から独立だと

そして、ツェルメロは 彼の自然数の定義として
後者関数 suc(a) で、0 := {}, suc(a) := {a} と定義した(>>12)
そうして、ツェルメロは彼の無限公理を 下記のように定義した

https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory （>>212より）
Zermelo set theory
（Zermeloの無限公理）
　7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."

もし、{a}が有限個で終われば、有限集合しか構成できないから
無限公理として機能するためには、{a}が無限個存在しなければならない
ということだね（当然 ツェルメロは そう考えていたはず）

そして、再度 『本質的に、”無限（集合）の存在”というものは、他の公理から独立だ』ということを強調しよう
ZFの公理系として、ノイマンの無限公理を採用したとして、ノイマンの無限公理から ツェルメロの無限が導けないことは ありうるだろう
しかし それは、ツェルメロの無限が ノイマンの無限公理からの 独立を意味するだけで、決して ツェルメロの無限を否定するものではない

再度 下記を参考に添えておく
https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo_set_theory
Zermelo set theory
Connection with standard set theoryThe axiom of infinity is usually now modified to assert the existence of the first infinite von Neumann ordinal ω; the original Zermelo axioms cannot prove the existence of this set, nor can the modified Zermelo axioms prove Zermelo's axiom of infinity.[2] Zermelo's axioms (original or modified) cannot prove the existence of Vω as a set nor of any rank of the cumulative hierarchy of sets with infinite index. In any formulation, Zermelo set theory cannot prove the existence of the von Neumann ordinal ω⋅2, despite proving the existence of such an order type; thus the von Neumann definition of ordinals is not employed for Zermelo set theory.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/308

309: １３２人目の素数さん [] 2025/04/27(日) 20:15:42.87 ID:eF7xVrhs

>>308
集合{{・・・{}・・・}}（無限重括弧）は何の後者と？
>　7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
から{{・・・{}・・・}}の存在が言えると言うなら上記問いに答える必要がある。答えよ。

尚、
>　7.AXIOM VII. Axiom of infinity (Axiom des Unendlichen) "There exists in the domain at least one set Z that contains the null set as an element and is so constituted that to each of its elements a there corresponds a further element of the form {a}, in other words, that with each of its elements a it also contains the corresponding set {a} as element."
から無限集合の存在は言える。その集合のどの元も有限重括弧、つまりその集合こそNz。
しかし問１はZFについて問うているのだから当然問１の解答にはならない。

ほんとサルってバカだね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/309

315: １３２人目の素数さん [] 2025/04/28(月) 13:03:58.14 ID:heJunuWl

>>303
(引用開始)
無限集合の定義は
「自身と対等な真部分集合を持つもの」
とすればよいが
「自然数全体の集合と対等な部分集合をもつもの」
としてもかまわない
(引用終り)

ありがとうございます。
下記の「デデキント無限」ですね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90
無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。
デデキント無限
→詳細は「デデキント無限」を参照
ある集合が自身と対等な（すなわち同じ濃度を持つ）真部分集合が存在するとき、その集合はデデキント無限であるという。デデキント無限でない集合はデデキント有限であるという。デデキント無限集合は常に無限集合であるが、その逆を証明するには弱い形の選択公理が必要である。無限集合が、デデキント無限集合であるということと、可算無限部分集合を持つことは同値である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。

通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:

集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。

19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。

ZFにおけるデデキント無限
次の4条件は、ZF上同値である。特に、これらの同値性はACを用いないで証明できることに注意せよ。
・A はデデキント無限である。
・全射ではないが単射であるようなA からA への関数が存在する。
・自然数の集合N からA への単射が存在する。
・A は可算無限な部分集合を持つ。
以下略す

選択公理との関係
略す
可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
デデキント無限集合が無限であることはZFで容易に証明される。実際、任意の有限集合はある有限順序数と等濃であって、有限順序数がデデキント有限であることは帰納法により証明できる。
略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/315

316: １３２人目の素数さん [] 2025/04/28(月) 13:18:12.50 ID:heJunuWl

>>307
>変化の本質は統合にある

ありがとうございます。
下記の Terence Taoなどが提唱する 下記の「3.The “post-rigorous” stage」ですね

“rigorous”の初歩レベルから脱することができなかった
数学科１年でオチコボレさんで 詰んだ人がいます
そういう人に限って、“rigorous”だけを振り回して いばるのですｗｗｗ
それ、滑稽ですね。ご当人は 至極まじめらしいが、大笑いですｗ ；ｐ）

(参考)
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-mathematics-than-rigour-and-proofs/comment-page-1/
By Terence Tao
There’s more to mathematics than rigour and proofs July 2016 (1)
3.The “post-rigorous” stage, in which one has grown comfortable with all the rigorous foundations of one’s chosen field, and is now ready to revisit and refine one’s pre-rigorous intuition on the subject, but this time with the intuition solidly buttressed by rigorous theory. (For instance, in this stage one would be able to quickly and accurately perform computations in vector calculus by using analogies with scalar calculus, or informal and semi-rigorous use of infinitesimals, big-O notation, and so forth, and be able to convert all such calculations into a rigorous argument whenever required.) The emphasis is now on applications, intuition, and the “big picture”. This stage usually occupies the late graduate years and beyond.
(google訳)
3. 「ポスト厳密」段階。この段階では、選択した分野の厳密な基礎知識すべてに慣れ、厳密な理論によってしっかりと裏付けられた直感を用いて、その分野における厳密化以前の直感を再検討し、洗練させる準備が整っています。（例えば、この段階では、スカラー計算との類推を用いたり、無限小数やビッグオー記法などを非公式かつ半厳密な形で使用したりすることで、ベクトル計算の計算を迅速かつ正確に実行できるようになり、必要に応じて、こうした計算をすべて厳密な議論に変換できるようになります。）この段階では、応用、直感、そして「全体像」に重点が置かれます。この段階は通常、大学院後期以降に行われます。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/316

320: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/28(月) 14:24:20.60 ID:heJunuWl

>>308 補足
>>179
(引用開始)
ツェルメロの自然数が大好きなおサルへの問題
{},{{}},{{{}}},・・・をツェルメロの自然数と呼ぶ。以下を証明せよ。
略
６．ZFにおいて集合{{・・・{}・・・}}（無限重括弧）は存在しない。
(引用終り)

全く素人くさいよね、おサルさん>>7

素人は、まず 下記の 東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
第14章順序数と第15章 自然数 とを、百回音読しなｗ ；ｐ）

その上で、下記の
上島晟宏 神戸大学 ”Zermelo と von Neumann の無限公理の同値性”
2023年 すうがく徒のつどい 第4回
を、99回写経しなよ

分からないところは、上島晟宏へ質問しろ！ｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第14章順序数
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_15.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第15章 自然数
15.1 ペアノの公理
P234
要は空集合Φから始めて後続順序数を次々に考えることで自然数が次々に得られるのである7)
注
7)このアイデアは順序数の定義第節とともにフォン・ノイマンによる

https://math-tsudoi.jp/4/
すうがく徒のつどい 第4回
2023年9月16日(土)および9月17日(日)に開催。
https://math-tsudoi.jp/4/schedule
9月17日
301教室「Zermelo と von Neumann の無限公理の同値性」 (一般枠)
上島晟宏 (Abstract, スライド)
https://math-tsudoi.jp/4/slides/ikotondo.pdf
Zermelo と von Neumann の無限公理の同値性
上島晟宏 神戸大学大学院システム情報学研究科研究生
目次
1.歴史と無限公理の意味
2. von Neumann 流の無限公理が「改良」足り得る理由
3. 証明の概略
　von Neumann 流 =⇒ Zermelo 流
　Zermelo 流 =⇒ von Neumann 流

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/320

321: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/28(月) 15:02:32.44 ID:heJunuWl

>>319
>間違いを理解できないのではなく認めないのだということが
>理解できないことが
>理解できない

これは御大か
巡回ご苦労様です

いやね おサルさん>>7 石の強弱が分かっていない

Zermeloの >>12 0 := {}, suc(a) := {a} （後者関数定義）
で、Zermeloが自然数の定義に失敗しているとか バカなことを言ってきたけど
上島晟宏氏 神戸大学 が、>>320のように発表しているし

>>179で、『{{・・・{}・・・}}（無限重括弧）は存在しない』とかいうが
論の立て方がおかしい
Zermeloは、Zermelo流の無限公理を採用しているので、まずは そこからがスタートです
そもそも ”無限” とは >>303で 御大が ご指摘された ごとくデデキントなど（カントールも）が
ZFCの公理化のずっと前に 考察を進めていたのです

”葦（よし）の髄（ずい）から天井をのぞく”
デデキント、カントール以前にも
ガウス、コーシー、リーマン、ワイエルシュトラスらが ”無限”（の概念）を縦横につかって
数学を展開していた

その一つに、数列の収束と発散があります
　>>12より
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
つまり
・0＜1＜2＜3＜・・・ →∞
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・→{・・・{}・・・}（無限重括弧）
これを、否定することはできない！

ZermeloなりZF公理から 証明はできないかもしれないが、否定することは 絶対にできないだろう
即ち、百歩譲っても ”{・・・{}・・・}（無限重括弧）”の存在は、ZermeloなりZF公理から 独立だ

とすれば、ゲーデルの不完全性定理の示すところ
”{・・・{}・・・}（無限重括弧）”の存在を公理として認めれば それで終わり！ です （＾＾

まあ、目あり目無し の攻め合いみたいなものですねｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/321

331: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/28(月) 20:51:25.51 ID:JYnUNKou

>>322
(引用開始)
　>>321より
>・0＜1＜2＜3＜・・・ →∞
>　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・→{・・・{}・・・}（無限重括弧）
>これを、否定することはできない！
>ZermeloなりZF公理から 証明はできないかもしれないが、否定することは 絶対にできないだろう
いいえ、簡単にできます。
ZFにおいて集合{・・・{}・・・}（無限重括弧）:=Xが存在すると仮定。
Xの元は一番外側の括弧を外したものでありそれはX自身、すなわちX∈X、すなわち正則性公理と矛盾。よって仮定は間違い。
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
１）下記の通り 任意実数は 有理数からなる コーシー列の収束先として定義できる
　つまり、有理数からなる コーシー列の収束先は、有理数に限る必要がない
　と同様に、有限範囲で 列 {}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ を構成する各要素が持つ性質について
　その極限の集合が 全てを引き継ぐ必要ない
２）また、スレタイ 箱入り無数目 で 時枝氏は ”箱の可算無限個”を考える
　ならば、”棒の可算無限個”も可能だろう。例えば、||||・・・と棒が可算あるとする
　この棒を |→} (右カッコ)に置き換えると }}}}・・・ となる
　この鏡映で 無限の左カッコ ・・・{{{{ ができる
　間に空を入れて ・・・{{{{ }}}}・・・  ができる
　一番外のカッコ ｛ or } は存在しない とできる
　なぜならば、極限順序数だから。（如何なる前者も存在しない。下記の”極限順序数”wikipedia をご参照）
３）類似で、”{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・→{・・・{}・・・}”を、下記 無限遠点と考えることもできる
４）言いたいことは、{・・・{}・・・}については、自ら定義していいので、辻褄の合うようにすれば良いだけです
　『一番外側の括弧を外したもの』とか、考える必要がない
　というか、Zermeloのシングルトンの極限は 自ら適当に定義していいのであって、「こいつだけ 正則性公理の例外」と定義してもいいし
　他にも 適当な処理を考えれば済むだけのことですよ

「正則性公理と矛盾」なんて、全くアホのパッパラパーｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://mathlandscape.com/cauchy-seq/
数学の景色
【微分積分学】コーシー列とは〜定義と収束性の証明〜
2022.09.25
コーシー列(基本列)は，大学1年生の微分積分学において，収束値は分からないが収束することが分かる，収束判定の道具といえます。これについて，定義と収束性の証明を行いましょう。

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/1
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋29(あほ二人の”アナグマの姿焼き"Part3ｗ)
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある
以下略

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
極限順序数
極限順序数は、0 でなく、直前の順序数を持たない順序数だから、例えば、 ω や ω2 などがそうである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/331

343: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/28(月) 22:28:18.19 ID:JYnUNKou

>>337
>つまりおサルさんはZFと無関係な独自数学をやりたいと？　それ、チラシの裏でやって。ここは数学板であっておサル数学板ではないから。

前世紀（20世紀）の学部で詰んだ 数学科生よ 哀れだな
下記 数学セミナー 　2025年3月号 池上大祐
「フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？」があって
興味深く読みました

池上大祐氏の答えは、「分らない」だが
実のところ ZFCを拡張した 「グロタンディーク宇宙/到達不可能基数」で フェルマーの最終定理は 証明された
また、望月氏の宇宙際タイヒミュラー理論もまた 「グロタンディーク宇宙/到達不可能基数」で ABC予想が証明されたのです

21世紀は、ZFだのZFCだのに、固執する必要は
ありません！ ｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/9438.html
数学セミナー 　2025年3月号
集合論の雑学――無限についてのおはなし
フェルマーの最終定理はZFCの下で証明できるか？／
グロタンディーク宇宙と到達不可能基数
　　……池上大祐　60

https://ja.ｙｏｕｒpedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
提供: Yourpedia
宇宙際理論の計算の精密化により、フェルマーの最終定理の初等証明を与える強いABC予想も容易に証明できるという。
グロタンディーク宇宙
公理から論理的演繹のみであらゆる数学を展開できるとされる公理的集合論ZFCのモデルとなる集合は、宇宙などと称されることが多い。
圏の一般理論はZFCだけでは展開できないが、ZFCに新たに別の公理を加えたZFCGにおいては展開できるようになる。このモデルとなるのがグロタンディーク宇宙である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/343

368: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 09:45:54.68 ID:R0QaAHkm

>>359
>つまり、君のいう「無限重括弧」は集合とは限らんし、実際にそう

ふっふ、ほっほ
さすが、数学科の学部１年で詰んだ男だね
論旨が グダグダだよ

まず、下記の 謎の数学者 層（sheaf）って何？ を見てね
”学部レベルの数学を学んでると基本的にですね
出てくる概念っていうのは集合であるとか
写像であるとかそういったものに限定されるんですけれど
シーフというのは基本的
に集合ではないんですね集合でもなければ
ば集合から集合への写像といったもので
もなくていわゆるですね関手
ファンクター ですね”ｗ

君は 上記『集合とは限らんし』で何が言いたかったの？ｗｗ

https://youtu.be/mpCQ6a0jBP8?t=10
層（sheaf）って何？ 関手（functor）の一種です。超ザックリ解説。
謎の数学者 2021/12/08
文字起こし
2:03
初めてこういった概念を見るとですね
ちょっととっつきにくいところがあってですね
まあそんなに難しいものでもないんですね
ただこの基本的になぜ
とっつきにくいかというとですね学部
レベルの数学を学んでると基本的にですね
出てくる概念っていうのは集合であるとか
写像であるとかそういったものに限定さ
れるんですけれど
シーフというのは基本的
に集合ではないんですね集合でもなければ
ば集合から集合への写像といったもので
もなくていわゆるですね関手
ファンクター ですねそういったものと
して捉えるのがまあ一つの捉え方なんです
(引用終り)

また
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B1%A4_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
層（そう、英: sheaf[注 1], 仏: faisceau）
歴史
アンリ・カルタンをはじめとするフランスの数学者達の層の解明は、岡潔が見出した不定域イデアルという概念をも基にしている。岡の複素関数論のイデアの不定域イデアルが基本内容を構成しそれを取り出し形式化したものが連接層の内容とされる。
(引用終り)

岡先生の考えた”不定域イデアル”は、多分 本質的に すでに 集合論を超えていたのでは？
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/368

370: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 09:47:55.93 ID:R0QaAHkm

つづき
>スリーアウトで試合終了

ほんに 君は”ディベート”頭 だね
数学には向かないね。ロジカルな思考ができず、ロジックが 無意識のうちに 議論にあわせて ねじ曲がっていくね

そもそも 野球では、スリーアウトは 試合終了では無く ”チェンジ”です

以前、君は 数学の歴史は ”概念の拡張だ”と言ったよね
なのに、なんで 旧来の集合の概念に 固執するのだ？

数学の歴史は ”概念の拡張”だよ
旧来の集合の概念を拡張して、何が悪い？
例えば、下記の”グロタンディーク宇宙”

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
(C) すべての基数 κ に対して、κ よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。
https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe
Grothendieck universe
Grothendieck universes and inaccessible cardinals
Since the existence of strongly inaccessible cardinals cannot be proved from the axioms of Zermelo–Fraenkel set theory (ZFC), the existence of universes other than the empty set and Vω cannot be proved from ZFC either.
However, strongly inaccessible cardinals are on the lower end of the list of large cardinals; thus, most set theories that use large cardinals (such as "ZFC plus there is a measurable cardinal", "ZFC plus there are infinitely many Woodin cardinals") will prove that Grothendieck universes exist.
(引用終り)

到達不能基数は、集合かい？ｗ
一つの比喩として、ZFCの宇宙を思いっきり拡大した
その極限が 到達不能基数であって（到達不能基数は 極限なので ZFC内では到達できない）
つまり Grothendieck universe は、ZFCの宇宙より 真に大きいのです

フェルマーと同じだね
証明を書くには、ZFCでは 余白が狭い！
よって、グロタンディーク宇宙 まで 拡張しよう ってことだ

Zermeloのシングルトンの極限(>>331)
無くても困らんが、あっても困らんとしたら？
画竜点睛の 竜の目として 一つ付け加えてあげれば 絵としては その方が 整っているでしょ？ｗ ；ｐ）
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/370

381: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/29(火) 10:14:10.29 ID:R0QaAHkm

>>359
(引用開始)
　例え方が間違ってるよ　正しい例え方はこう
> 列 {}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ を構成する各要素が集合だからといって
> その極限が集合に限る必要ない
つまり、君のいう「無限重括弧」は集合とは限らんし、実際にそう
君だけがそれを理解せず、いや集合だ！俺の直感がそういってる！俺の直感は正しい！と吠えてる
でも君の直感は正則性公理と矛盾するから、背理法で否定される
(引用終り)

ここ 正則性公理 は、大事だから 血祭りに上げるとｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
略す
以下の3つの主張はいずれもZF公理系の他の公理の元で同値であり、どれを正則性公理として採用しても差し支えない[1]。
・∀x ≠ ∅ に対して、∃y∈x; x ∩ y = ∅
・∀xについて、∈ が x 上 整礎関係
・V = WF
ここで、V は集合論の宇宙を指し、WF は整礎的集合全体のクラス（フォン・ノイマン宇宙）を指す。
(引用終り)

上記で 二番目の”∀xについて、∈ が x 上 整礎関係”を考えよう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
二項関係が整礎（せいそ、英: well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。
定義
集合あるいはクラス X 上の二項関係 R が整礎であるとは、X の空でない任意の部分集合 S が R に関する極小元を持つことをいう[1]
(引用終り)

おサルさんは、ここの”真の無限降下列をもたないことである”を 誤読して
”無限降下列をもたない”と思い込んでいるんだろう （過去に おサルと別の数学科生との論争で おサルはコテンパンにされたよね）

つまり、自然数Nで
0<1<2<3・・・<ω （ωは極限順序数 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0）
これは、無限列だが 無限上昇列であって、上記の”真の無限降下列”とは、意味が違う

0>-1>-2>-3・・・
これは、”真の無限降下列”だね
（0が空集合 <が∈ と思え）

つまり、正則性公理は ∈ による 二項関係で 空集合 ∅ より 下を禁止している ってことです
（正則性公理によって、∈ による 二項関係は 上昇列のみになり ”真の無限降下列”は 存在しえないのです）
おサルさんは、正則性公理を、盛大に誤解＆誤読していたのですｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1744899342/381

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