[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/

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487: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 07:56:45.59 ID:fq1QO0q/ >>461-464 ふっふ、ほっほ >{・・{{{}}}・・}_ωは集合？　集合の場合濃度は？ ・{・・{{{}}}・・}_ωの濃度は1と定義する 　有限の単元集合たちのω親分として定義する 　アレクサンドロフの一点コンパクト化として正当化できる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96 ・{・・{{{}}}・・}_ω が、ZFC内に収るかどうかは知らない 　ZFC外であったとしても、集合と定義すれば良い 　”数の歴史とは、ないなら作ってしまえ、という歴史の積み重ね”>>404 　これは、良いことを一つ言ったな。ないなら、集合を一つ作ってしまえ！ だね >>{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ ∈{・・{{{}}}・・}_ω >”∈{・・{{{}}}・・}_ω”の左隣は何？ ・{・・{{{}}}・・}_ω には、左隣＝前者 は、存在しない 　あたかも、ノイマン構成のω=N={0,1,2,・・,n,n+1,・・} に、前者が存在しないのと同じだよｗ ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/487

609: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 20:14:10.08 ID:fq1QO0q/ >>551-553 おっちゃん、ご苦労さまです 下記 e (mathematical constant) 、皆さんの参考に貼ります ；ｐ） (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0 ネイピア数（ネイピアすう、英: Napier's constant）は、数学定数の一つであり、自然対数の底である。ネーピア数、ネピア数とも表記する。記号として通常は e が用いられる。 en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant) e (mathematical constant) Properties Number theory The real number e is irrational. Euler proved this by showing that its simple continued fraction expansion does not terminate.[38] (See also Fourier's proof that e is irrational.) Furthermore, by the Lindemann–Weierstrass theorem, e is transcendental, meaning that it is not a solution of any non-zero polynomial equation with rational coefficients. It was the first number to be proved transcendental without having been specifically constructed for this purpose (compare with Liouville number); the proof was given by Charles Hermite in 1873.[39] The number e is one of only a few transcendental numbers for which the exact irrationality exponent is known (given by μ(e)=2.[40] An unsolved problem thus far is the question of whether or not the numbers e and π are algebraically independent. This would be resolved by Schanuel's conjecture – a currently unproven generalization of the Lindemann–Weierstrass theorem.[41][42] It is conjectured that e is normal, meaning that when e is expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).[43] In algebraic geometry, a period is a number that can be expressed as an integral of an algebraic function over an algebraic domain. The constant π is a period, but it is conjectured that e is not.[44] （google訳） 実数 e は無理数です。オイラーは、単純な連分数展開が終了しないことを示してこれを証明した。[38] (e が無理数であるというフーリエの証明も参照してください。) さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、e は超越数であり、有理係数を持つ非ゼロ多項式方程式の解ではないことを意味します。これは、特にこの目的のために構築されることなく超越数であることが証明された最初の数でした（リウヴィル数と比較してください）。この証明は1873年にシャルル・エルミートによってなされた。[39] eは、正確な無理数指数が知られている数少ない超越数のうちの1つです（ μ(e)=2.[40] つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/609

610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 20:15:26.43 ID:fq1QO0q/ つづき これまで未解決の問題は、e と π という数が代数的に独立であるかどうかという問題です。これは、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の現在証明されていない一般化であるシャヌエルの予想によって解決されるだろう。[41][42] eは正規分布していると考えられており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。[43] 代数幾何学において、周期とは代数領域上の代数関数の積分として表現できる数です。定数πは周期であるが、eは周期ではないと推測される。[44] en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational Proof that e is irrational The number e was introduced by Jacob Bernoulli in 1683. More than half a century later, Euler, who had been a student of Jacob's younger brother Johann, proved that e is irrational; that is, that it cannot be expressed as the quotient of two integers. Euler's proof Euler wrote the first proof of the fact that e is irrational in 1737 (but the text was only published seven years later).[1][2][3] He computed the representation of e as a simple continued fraction, which is e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,・・・ ,2n,1,1,・・・ ]. Since this continued fraction is infinite and every rational number has a terminating continued fraction, e is irrational. A short proof of the previous equality is known.[4][5] Since the simple continued fraction of e is not periodic, this also proves that e is not a root of a quadratic polynomial with rational coefficients; in particular, e2 is irrational. Fourier's proof 略す Alternate proofs 略す Generalizations 略す (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/610

611: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 20:20:55.17 ID:fq1QO0q/ >>609-610 補足 なんか、googleのAI訳があやしいな ご愛敬ですねｗ （＾＾ It is conjectured that e is normal, meaning that when e is expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).[43] 　　↓↑ eは正規分布していると考えられており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。[43] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/611

612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 21:05:42.74 ID:fq1QO0q/ >>606-608 おっちゃん、ご苦労さまです 下記ですな が、はっきりした 図そのものが出てこない 下記の Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean David A. Cox 2016 P20/22 が そうかな？ Gauss 全集と付き合わせたいところだが、いまはここまで ついでにヒットした資料貼っておく （なお 下記 武部 尚志先生 ”作った資料を←こちらの「資料公開」の項に置いてみました”というが、リンクが無い！ｗ ；ｐ） (参考) ctnt-summer.math.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/1632/2016/02/coxctnt.pdf Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean David A. Cox Department of Mathematics and Statistics Amherst College dacox@amherst.edu CTNT, August 10, 2016 P20/22 Fundamental Domains Gauss knew that k′(τ)2 was Γ(2)-invariant, and he also knew the fundamental domain of Γ(2). This fundamental domain appears twice in his collected works: InVolumeIII, published in 1863 and edited by Ernst Schering: InVolumeVIII, published in 1900 and edited by Felix Klein: www.researchgate.net/publication/248675540_The_Arithmetic-Geometric_Mean_of_Gauss The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss January 1984 L’Enseignement Mathématique David Cox reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1800.html 日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長 （高瀬先生） ガウスの数学日記90　「広義に於けるsin.lemn.」2012-07-28 数学日記の第105項目については、高木先生も『近世数学史談』の一章を使って詳述しています。その章というのは第9章のことなのですが、その第9章には「書かれなかった楕円函数論」という表題が附されています。これを要するに、ガウスはレムニスケート函数に対して成立する等式M(√2,1)=π/ωを糸口にして、楕円関数論という広大な大洋を発見したということになります。数学日記のガウス全集版テキストにも詳しい註記がついていて、そのようなことが書かれていますし、ガウスの楕円関数論がどのようにして発見されたのか、経緯は明瞭にわかります。ガウスはモジュラー関数さえ発見し、基本領域の図まで描いたと、高木先生は驚きを隠しません。 　高木先生の解説によると、ガウスは 　　π/M(1,√(1+μ^2))=ω,　π/M(μ,√(1+μ^2))=ω’ と置き、これらを用いて無限級数 　　S(u)=(π/μω)(4 sin πν/(h^(1/2)+h^(-1/2))-4 sin 3πν/(h^(3/2)+h^(-3/2))+…) を作り、これを「広義に於けるsin.lemn.」と呼びました。sin.lemn.というのはレムニスケート関数のことですから、「広義に於けるsin.lemn.」という以上、ガウスははじめからレムニスケート関数の延長線上に位置を占める関数を、そのようなものが存在すると確信したうえで、探索していたことがわかります。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/612

613: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 21:06:11.62 ID:fq1QO0q/ つづき researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/76981/c32e59a4375e56cf6222bbc9f132b5cb?frame_id=329253&lang=en 武部 尚志 楕円関数論の歴史 posted : 2014/04/23 参考にしたのは数理解析研究所講究録の高瀬正仁先生の「楕円関数論形成史叙述の試み」、Adrian Rice "In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions",(雑誌のページでは "Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered"), それに高木貞治「近世数学史談」。 前回 Marshall 氏は Gauss の楕円関数論への貢献について少し話していたけれど、今日私はまだ一言も Gauss と言っていない。実は Gauss は論文を発表せず、自分だけで研究していた。Abel や Jacobi に先立つこと三十年前から始めていて、レムニスケートの等分や算術幾何平均との関係、果ては百年後まで誰も理解出来なかった不思議な図を描いている。実はこれは SL(2,Z) の合同部分群 Γ(2) の基本領域で、Gauss が modular 関数の理論を知っていたことの証拠とされる。Gauss は論文発表しなくても平気。Authority ですからね。貧乏な Abel は職探ししなくちゃいけないから、とてもそんな悠長な事は言ってられなかった。 という訳で、作った資料を←こちらの「資料公開」の項に置いてみました。年表は xfig で作って pdf を吐かせた物。Bernoulli, Legendre, Jacobi, Gauss の全集はネット上のあっちこっちの公開図書館から pdf を落として、紹介に必要な部分だけ切り貼りしました。どう考えても著者の著作権は切れているものばかりですが（一番新しいのが Gauss 全集か Jacobi 全集） www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm10.pdf 楕円モジュラー関数j(τ)のフーリエ係数 九州大学数理学研究院 金子 昌信 この講義録は1998年9月14日から18日まで,神戸大学において「楕円モジュラー関数j(τ)のFourier 係数」と題して行った集中講義に基いて作られたものである. 第2章 j(τ)小史 脚注 Gauss の遺稿にあったΓ(2)の基本領域の図は, 1866 年刊行の全集III巻(477, 478ページ)では, おそらくは編者がその意味を取れず,誤って写されていたが,Fricke が編者に入った 1900 年刊行のVIII巻(105ページ)においてようやく正しく書き直された. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/613

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