ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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941: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 08:58:44.38 ID:XknlDm4+

>>934
>A' := { g:Λ→∪_{λ∈Λ} X_λ | 任意のλ∈Λに対してg(λ)∈Xλ }
>とする。存在例化により選択関数f∈A'が存在する。

1）存在例化は、下記 ja.wikipedia.org ＆ en.wikipedia.orgの意味と解していいかな？
　もしそうならば、存在例化とは 新しい定数記号cを導入できること
　”must be a new term”であること
　「証明の結論部にも現れてはならない」”it also must not occur in the conclusion of the proof”
　ってこと
2）ということは、存在例化で 記号cを導入することは、なんら新しいことを導入したのではなく
　単に、証明を読みやすく 簡明にするために 「存在記号 ∃ を消す」 が、しかし 結論には影響しない！
　ってことでは？
3）ならば、”存在例化により選択関数f∈A'が存在する”という上記陳述が
　ナンセンスだと思うぜ

実際、解析概論でも、多変数関数論のテキストで良いが
「これが、存在例化でございます！」って、存在例化が威張っている証明ってあるかな？
（en.wikipedia では、”but its explicit statement is often left out of explanations”ってあるけど、所詮その程度のしろもの じゃないの？ｗ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BE%8B%E5%8C%96
存在例化
存在例化（そんざいれいか、英: Existential instantiation, Existential elimination）[1][2][3]は、述語論理において、
(∃x)ϕ(x)
という形式を持った式が与えられると、新しい定数記号cについて
ϕ(c)を推論することができるという、妥当な推論規則のひとつである。この規則は、導入された定数cが、証明にはこれまで用いられてこなかった新しい項でなければならないという制約を有する。
また、証明の結論部にも現れてはならない。

https://.org/wiki/Existential_instantiation
Existential instantiation
In predicate logic, existential instantiation (also called existential elimination)[1][2] is a rule of inference which says that, given a formula of the form
(∃x)ϕ(x), one may infer
ϕ(c) for a new constant symbol c. The rule has the restrictions that the constant c introduced by the rule must be a new term that has not occurred earlier in the proof, and it also must not occur in the conclusion of the proof. It is also necessary that every instance of
x which is bound to
∃x must be uniformly replaced by c.
, but its explicit statement is often left out of explanations.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/941

945: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 09:35:15.64 ID:XknlDm4+

>>932
(引用開始)
>>26
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
選択関数はAの元なんだから、Aがwell-definedなら選択関数の存在は自明だけどその証明が無いのでは？
(引用終り)

それ >>26 https://alg-d.com/math/ac/wo_z.html が、元のリンクだね？ alg-d 壱大整域さんに質問しなよ、喜んでくれるだろう
それとは別に、他の証明と照らし合わせるのが良い、というか 常用のスジだ
下記 ”Zorn's lemma implies the axiom of choice”の証明で
集合族で 和集合”its union U:=⋃X”が一つのスジだ
それで、下記 関数 f:X→U を導入する。これが、最後 選択関数になるんだろう
Zorn's lemma に乗せるために、順序 ”It is partially ordered by extension; i.e.,”を導入する
で、この順序で ”The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f.”として 結局 fが極大で
即ち fが 選択関数だと

繰り返すが、上記 alg-d 壱大整域さん と 下記 en.wikipedia を見比べてみな

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Zorn%27s_lemma
Zorn's lemma

Zorn's lemma implies the axiom of choice
A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

Given a set X of nonempty sets and its union
U:=⋃X
(which exists by the axiom of union), we want to show there is a function
f:X→U such that
f(S)∈S for each
S∈X. For that end, consider the set
P={f:X′→U∣X′⊂X,f(S)∈S}.
It is partially ordered by extension; i.e.,
f≤g if and only if
f is the restriction of g. If
fi:Xi→U
is a chain in P, then we can define the function f on the union
X′=∪iXi by setting
f(x)=fi(x) when
x∈Xi. This is well-defined since if i<j, then
fi is the restriction of fj . The function
f is also an element of P and is a common extension of all fi's. Thus, we have shown that each chain in
P has an upper bound in P. Hence, by Zorn's lemma, there is a maximal element
f in P that is defined on some X′⊂X. We want to show
X′=X. Suppose otherwise; then there is a set
S∈X−X′. As S is nonempty, it contains an element s. We can then extend
f to a function g by setting g|X′=f and g(S)=s. (Note this step does not need the axiom of choice.) The function g is in P and f<g, a contradiction to the maximality of f. ◻

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/945

950: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 09:56:20.09 ID:XknlDm4+

>>945 補足
>A proof that Zorn's lemma implies the axiom of choice illustrates a typical application of Zorn's lemma.[17]

えーと、最後の [17]を見ると下記だ
Notes
17  Halmos 1960, § 16. Exercise.
References
Halmos, Paul (1960). Naive Set Theory. Princeton, New Jersey: D. Van Nostrand Company.
https://en.wikipedia.org/wiki/Naive_Set_Theory_(book)
Naive Set Theory (book)

うーんと、海賊版を探すと
Naive set theory.
Halmos, Paul R. (Paul Richard), 1916-2006.
Princeton, N.J., Van Nostrand, [1960]

があった (下記 文字化けと乱丁ご容赦)
Sec. 16  ZORN'S LEMMA p65
Exercise.
Zorn's lemma is equivalent to the axiom of choice.
[Hint
for the proof: given a set X, consider functions /such that dom/C
(P(X), ran/dX, and f(A)eA for all A in dom/; order these functions
by extension, use Zorn's lemma to find a maximal one among them, and
prove that if/ismaximal, then dom/= <P(X)
—
{0}.] Consider each
of the following statements and prove that they too are equivalent to
the axiom of choice.
(i)
Every partially ordered set has a maximal
chain (i.e., a chain that
is
not
a
proper subset of any other chain).
(ii)
Every chain in
a
partially ordered set
is
included in some maximal chain.
(iii) Every partially ordered set in which each chain has
a
least upper
bound has a maximal element.
(引用終り)

か
解答はないかな？・・・ ないね・・  ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/950

972: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/15(土) 15:19:30.59 ID:XknlDm4+

>>969 >>971

じゃあ、聞くけど
下記の尾畑研 東北大
”定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である”けど
この証明は？ 認めるんだろうね？

で？ >>945より
（引用開始）
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
（引用終了）
に何を補えば良かったのかな？ｗ ；ｐ）
存在例化か？ｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
尾畑研 東北大
「集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
第11章 選択公理
第12章 順序集合 ツォルンの補題

P157 選択公理
(AC2) Ωを空でない集合族とする．もし鵬Ωであれば,写像f:Ω→UΩ
ですべてのX∈Ωに対してf(x) ∈ Xとなるものが存在する．この写像
fを集合族Ωの選択関数という．

P184
定理12.23 選択公理とツオルンの補題は同値である
証明 ツオルンの補題を用いて選択公理(AC2)を証明すればよいΩを空で
ない集合族でΦ∈Ωとする．部分集合D∈Ωと写像f:D→UΩの対(D,f）
で,すべてのA∈Dに対してｆ(A) ∈Aを満たすものの全体をZとする
まず､Zは空ではない．実際.A∈Ωを1つとれば,A≠0よりα∈Aが存在す
る 写像f: {A}→UΩをf(A) =αで定義すれば,明らかに({A},f)∈Z
である．次に,Z上の2項関係(D1,f1) <､(D2,f2）をD1⊂ D2であり，すべて
のA∈D1に対してf1(A) = f2(A)が成り立つものと定義すると, (z, <)は順
序集合になる．
(z, <)がツオルン集合になることを示そう
与えられた全順序部分集合y⊂Z
に対して,Ωの部分集合を
ε= U(D,f)∈y D （12.3）
とおいて;写像g：ε→UΩを次のように定義する．任意のx∈ε対し
て．ある(D,f)∈yが存在してx∈D となるので, g(x)=f(x)とおく

ここでx∈Dを満たす(D,f) ∈yの選び方は一意的ではないが.選び方によら
ず.f(x）は一定であるから写像gが定義できる このことを確認しておこう
(D1,f1),(D2,f1) ∈ yで x∈D1,x∈D2 とする
yが全順序部分集合だから、
Dl⊂D2またはD2⊂ D1が成り立つ.いずれにせよf1 (x) = f2(x)となり､
確かにg(x)の値はx∈D,(D,f)∈yの取り方によらない
明らかに, (ε, g)は
zの元であって,yの上限である．したがって, (z, <)はツォルン集合である
(z, <)にツォルンの補題を適用すれば.極大元(D.f)∈Zが存在する
もし,D≠Ωであれば Ao∈Ω＼ Dが存在する
Aoは空ではないのでαo∈Aoをとって．
h(A)=a0 A=A0, f(A) A∈D
とおくと,写像h:D∪{A0}→∪Ωが得られる
明らかに(DU{Ao},h) ∈Z
であり, (D,f)く(D U {Ao},h) ∈ Zとなる
これは(D,f)∈Zが極大元であることに矛盾する．
よって、D=Ωであり,fはΩの選択関数である■

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/972

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