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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/
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69: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 00:18:15.00 ID:oyw47Vnz >>65 じゃ失せれば？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/69
70: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 00:26:59.98 ID:oyw47Vnz 「好きな順番に整列できる」 は 「任意の選択関数を構成できる」 ことに他ならない。 そもそも選択関数を構成できない命題だから選択公理の仮定が必要なのである。 しかも選択公理を仮定したからといって任意の選択関数が得られる訳ではない。 何重にも間違ってる。酷いなんてもんじゃない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/70
71: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 00:32:00.56 ID:oyw47Vnz ほらね、>>60に回答できず逃げたでしょ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/71
72: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 05:42:07.56 ID:RHKFtm92 選択公理が成り立つなら、どんな無限列s∈R^Nをとってきても sの決定番号dが存在し d<=nとなるnについてs[n]=r(s)[n] 一方、箱入り無数目で選ばれた箱の番号nがd以上になるには 他の99列の決定番号のどれかがd以上であればよい 逆に、箱入り無数目で選ばれた箱の番号nがd未満になるには 他の99列の決定番号のどれもがd未満でなくてはならない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/72
73: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 08:53:45.95 ID:pX4W9Cg1 >>69 それがわからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/73
74: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:05:46.61 ID:RHKFtm92 >>73 わかれよ 爺 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/74
75: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:06:17.92 ID:pX4W9Cg1 わからないものはわからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/75
76: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:11:01.21 ID:RHKFtm92 >>75 爺は目障りだとわかれよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/76
77: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:20:52.85 ID:oyw47Vnz 爺は荒し http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/77
78: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:21:31.31 ID:pX4W9Cg1 それはわかっている http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/78
79: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 11:25:44.20 ID:Kqr4zqHs >>64-65 ID:bvvTKD+8 は、御大か 巡回ご苦労様です なるほど ご指摘の思い当たる点を 自分で赤ペンすると (引用開始) >>15で示した 例示 ミニモデルで 集合X={a,b,c,d} で 冪集合 P(X)={ {a,b,c,d}, {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d} {a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d}, {a},{b},{c,},{d}, ∅ } これで 包含関係 で 順序が入る {a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅ で、整列順序の極大元に
なる この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です） (引用終り) １）ここの素朴（ナイーヴ）な議論が、まずいってことですね ２）つまり、無限集合では ヒルベルトホテルのパラドックスが起きる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 例えば、順序数ω から 一つ減らしても ωのままです （順序数の演算ご参照 ja.wikipedia.
org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 ） ３）この素朴な議論を、ZFC内で 正当化したのが >>14の alg-d 壱大整域氏 の証明で そこで 必要なのが １）選択公理（及びそれと同値のZorn補題） ２）順序数 との対応付け ということですね これによって 当初の素朴（ナイーヴ）な議論のスジが、ほぼZFC内の議論に変換できている ４）ここで、注目すべきは 冪集合 P(X)には、⊃ による 順序構造とか X={a,b,c,d}を頂点にして 最底辺が 空集合∅ という 階層構造とかがある （一方 X自身には そういう構造の仮定はない） ここらを潜在
的な構造として うまく ZFC内で 正当化しているのが、 >>14の alg-d 壱大整域氏 の証明です なお >>37の ツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明 も 同様です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/79
80: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:41:27.36 ID:RHKFtm92 >>79 P(X)-{φ}={ {a,b,c,d}, {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d} {a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d}, {a},{b},{c,},{d}} として、選択関数ｆが f({a,b,c,d})=c f({a,b,d})=d f({a,b})=b f({a})=a なら、整列はc<d<b<a となる で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし f({a,b,c,d})=a とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる さらに f({b,c,d})=b とすると、f({c,d})の値が必要とな
り、 f({c,d})＝c とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる 要するにそういうこと これは別にXが無限でも同じ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/80
81: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:45:28.25 ID:RHKFtm92 >>79 Xが無限のとき、整列に対応する順序数は一意ではない たとえばXが可算なら、整列に対応する順序数として、任意の可算順序数がとれる そしてどういう可算順序数になるかは、選択関数fで決まる >例えば、順序数ω から 一つ減らしても ωのままです 順序数の差なんて、リンク先に書かれてないが・・・幻視？ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0#%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%AE%97 http://rio2016.5ch.net/test/
read.cgi/math/1738367013/81
82: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:50:53.73 ID:RHKFtm92 >>79 なぜ、有限だと選択公理が不要で、無限だと選択公理が必要か、わかるかい？ ヒルベルトホテルのパラドックス？ 全然違うよ 答えは、無限回の操作なんて不可能だからだよ 選択公理であらかじめ空でないすべての部分集合とその要素の対応の集合を用意するのは１ステップ また、順序数との対応づけも、帰納的定義だから１ステップ どちらも無限回のステップなんてないから、論理的に正当 意味わかる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/82
83: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 11:55:07.56 ID:Kqr4zqHs >>78 補足 下記は、見ておくのがよさそう (参考)（”Hausdorff's Maximal chain Condition”と”Tukeyの補題”は、有名なので 知っておくべきでしょう） https://alg-d.com/math/ac/ alg-d 壱大整域 https://alg-d.com/math/ac/zorn.html Zornの補題・極大原理 2015年12月20日 定理1 次の命題は(ZF上)同値． 1.順序集合Xが「Xの鎖には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題) 6.有限性をもつ非空集合Xは(⊂に関する)極大
元をもつ．(Tukeyの補題) 8.任意の順序集合(X, ≦)は極大鎖を持つ．(Hausdorff's Maximal chain Condition) 証明 略す http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/83
84: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 11:59:29.52 ID:RHKFtm92 ＞証明 略す 君、 実数の完備性に関する諸条件の同値性証明も 線形写像の正則性に関する諸条件の同値性証明も 全部すっとばして略したろ 論理が読めないから何度読んでも目が滑って何もわからないんだよ 論理を理解したまえ でないと数学書なんてちっとも読めないぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/84
85: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 12:00:59.32 ID:oyw47Vnz >>79 >>例えば、順序数ω から 一つ減らしても ωのままです ωは後続順序数でないからωの前者となる順序数は存在しない。 相変わらず口を開けば間違いばかりだね。もう口閉じたら？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/85
86: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 12:30:51.44 ID:RHKFtm92 >>85 実数ダメ 線形同型写像ダメ 選択公理ダメ ３部門で初歩レベルからダメ これはもう根本的に心構えからなってないとしかいいようがないな アレは http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/86
87: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 14:48:21.68 ID:Kqr4zqHs >>80 原理はその通り >>14の alg-d 壱大整域氏 の証明は それを ZFCのルール中で 構成している http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/87
88: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 14:54:16.65 ID:HcxbjtX3 >>86 わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/88
89: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 15:00:42.66 ID:oyw47Vnz 認知症？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/89
90: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 15:03:33.24 ID:HcxbjtX3 当然 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/90
91: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 17:34:08.54 ID:HcxbjtX3 >>87 そうかも http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/91
92: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 17:34:09.30 ID:HcxbjtX3 >>87 そうかも http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/92
93: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 17:57:18.63 ID:Kqr4zqHs >>80 補足 (引用開始) 選択関数ｆが f({a,b,c,d})=c f({a,b,d})=d f({a,b})=b f({a})=a なら、整列はc<d<b<a となる で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし f({a,b,c,d})=a とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる さらに f({b,c,d})=b とすると、f({c,d})の値が必要となり、 f({c,d})＝c とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる 要するにそういうこと これは別にXが無限でも同じ (引用終り) それでい
いんだよ そして、いま 集合Xに対する 選択関数fは 可算無限 X={x0,x1,x2,・・} ならば、f(X)＝xi | i∈N （xiは、可算無限集合Xから一つ選ばれる） 連続無限 X={xt ｜tは実数で t∈[0,∞]} ならば、f(X)＝xt | t∈R （xtは、連続無限集合Xから一つ選ばれる） となる そして、なにをどう選ぶか？ そのとき、その人次第なのです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/93
94: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 18:08:51.89 ID:oyw47Vnz >>93 >そして、なにをどう選ぶか？ >そのとき、その人次第なのです まだ分かってなくて草 あったま悪いのうこのサルは http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/94
95: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 18:15:26.05 ID:oyw47Vnz >>93 >そして、なにをどう選ぶか？ >そのとき、その人次第なのです 選択公理を仮定しても選択関数が存在することしか言えないのに何をどう選ぶと？ 君、選択公理すら分かってないんだね なんでそんなに馬鹿自慢したいの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/95
96: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 18:18:32.56 ID:oyw47Vnz 選択公理は自由に選択できる公理とでも？ 数学は連想ゲームじゃないよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/96
97: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 18:29:23.24 ID:HcxbjtX3 わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/97
98: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 19:33:21.30 ID:RHKFtm92 >>96 >選択公理は自由に選択できる公理とでも？ 確かに人がすべての値を自由に指定できるなら、そもそも選択公理はいらないな その意味で「なにをどう選ぶか？そのとき、その人次第なのです」は嘘っぱちだな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/98
99: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 20:51:05.51 ID:KN6t4rnq >>83 追加 下記も知っておく方が良い 特に 1.任意の集合は整列可能． ↓ 2.任意の全順序集合は整列可能． ↓ 3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能． これ、Jechの証明は、冪集合 P(X)を利用して 集合 Xの整列可能をしている 一見その逆の主張だね、面白い ；ｐ） (参考) alg-d.com/math/ac/wot.html alg-d 壱大整域 選択公理 > 整列可能定理について 2012年08月05日 定理4 次の命題は同値 1.任意の集合は整列可能． 2.任意の全順
序集合は整列可能． 3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能． 4.順序数αに対して P(α) も整列可能． 証明 (1⇒2) 自明 (2⇒3) (X, ≦)を整列順序集合とする． P(X) に二項関係 < を A<B ⇔ ある a∈A＼B が存在して任意の b∈B＼A に対して a<b で定める．これによって P(α) が全順序集合になることを確かめる． (i) ¬A<A について． A＼A= ∅ なので明らか (ii) A<B ⇒ ¬B<A について． A<Bとすると < の定義より，あるa0∈A＼Bが存在して「任意の b∈B＼A に対して a0<b 」となる．よって明らか
に ¬B<A である． (iii) A<B または A=B または B<A について． A≠B とすると，X は整列順序集合だから a := min( (A＼B)∪(B＼A) ) が存在する．勿論 a∈A または a∈B であるが，明らかに a∈A ならば A < Bで，a∈B ならば B < A である． (iv) (A<B かつ B<C) ⇒ A<C について． ¬A<C と仮定する．A=C だとすると A<BかつB<A となり(ii)に反するので A≠B である．故に(iii)から C<A である．A<B, B<C, C<A より (1) 任意の b∈B＼A に対して a0 < b (2) 任意の c∈C＼B に対して b0 <
c (3) 任意の a∈A＼C に対して c0 < a を満たすa0∈A＼B, b0∈B＼C, c0∈C＼Aが存在する．a0∈A＼Cである． ∵ a0 ∉ A＼C と仮定する．即ちa0∈Ac∪Cである．a0∈A＼Bだったから a0 ∈ (Ac∪C)∪(A＼B) = A∪C＼B ⊂ C＼B である．よって(2)により b0 < a0．従って(1)から b0 ∉ B＼A でなければならない．すると同様の議論を繰り返して a0 < c0 < b0 < a0 が導かれ，矛盾． 同様にしてb0∈B＼A, c0∈C＼Bである．従って(1)(2)(3)から a0 < b0 < c0 < a0 となり，矛盾する． 以上より(P(X), <)は全順序集合
である．よって，仮定より整列可能である． (3⇒4) 明らか． 以下略す http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/99
100: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 20:58:20.01 ID:oyw47Vnz 治らないコピペ癖 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/100
101: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 20:59:02.55 ID:pX4W9Cg1 ほっとけ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/101
102: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 21:05:44.61 ID:RHKFtm92 >>100 他人に対して知ったかぶりたいが、自慢できることはなんも知らないので せっせと検索して得た結果を自分が考えたような顔してコピペ でも突っ込まれると実数の連続性も正則行列も選択公理も全然わかってない どの分野も初歩でアウト スリーアウトチェンジ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/102
103: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/03(月) 21:10:31.97 ID:MxrKZVM9 選鉱すらできてない冶金学 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/103
104: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 21:38:35.02 ID:KN6t4rnq >>95-97 (引用開始) >そして、なにをどう選ぶか？ >そのとき、その人次第なのです 選択公理を仮定しても選択関数が存在することしか言えないのに何をどう選ぶと？ 君、選択公理すら分かってないんだね なんでそんなに馬鹿自慢したいの？ 選択公理は自由に選択できる公理とでも？ 数学は連想ゲームじゃないよ わからない by ID:HcxbjtX3 (引用終り) ID:HcxbjtX3は、御大か 巡回ご苦労さまです さすがですね というか、当然ですが 数学で、存在
定理（または公理。以下 定理のみで略記する）とは 存在を保証する定理ですが そこに、人の意志が入る場合と 入らない場合と 両方が可能なのです（当たり前ですが、存在定理は人の意志を拒否しない） あるいは、特別な場合に 具体的な構成を示すとか それは、数学のレベルが上がれば分ること しかし、大学学部1年か2年で詰んで、レベルの高い数学を知らない人には、それが分らないのですね en.wikipedia.org/wiki/Existence_theorem Existence theorem ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86 存在定理 何らかの数学的対象の
存在をいう定理の総称。定理の内容や証明において、対象の具体的な構成方法は必ずしも示されない。 ja.wikipedia.org/w/index.php?search=intitle%3A%E5%AD%98%E5%9C%A8%E5%AE%9A%E7%90%86&title=%E7%89%B9%E5%88%A5:%E6%A4%9C%E7%B4%A2&ns0=1 タイトルに「存在定理」を含むページの一覧 高木の存在定理 カラテオドリの存在定理 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/104
105: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 21:42:20.76 ID:RHKFtm92 ＞大学学部1年か2年で詰んで、レベルの高い数学を知らない人 それ現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 工学部卒の●●が人間面すんなよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/105
106: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 21:47:27.49 ID:oyw47Vnz >>104 ポエムはポエム板でどうぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/106
107: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 21:50:51.37 ID:RHKFtm92 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP は 現代数学への入門 から やりなおせ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B2%A9%E6%B3%A2%E8%AC%9B%E5%BA%A7_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%85%A5%E9%96%80 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/107
108: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 22:47:54.14 ID:oyw47Vnz うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/108
109: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/03(月) 23:44:33.04 ID:KN6t4rnq >>102 ふっふ、ほっほ 天下の落書き 便所板 君みたいな人がいてね で、「君はどんな立派なことを書いたの？ 学位持ってる？ 論文書いて雑誌に載った？ 出版した本は？」 と聞いたら、裸足で逃げたな この中で、自分の理論作って、論文書いた人は？ 一人だけか この中で、自分の理論で、本を書いた人は？ 一人だけか だったらさ、あなた方が タネ本隠して書くことはさ みんなタネ本があって、そういうところからの 受け売りじゃん！！ｗｗｗ ；ｐ） ht
tp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/109
110: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 23:52:59.13 ID:oyw47Vnz 自分が訳も分からずコピペしてるからって他人も同じと思うのは下衆の勘繰り http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/110
111: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 00:07:04.95 ID:siKztgRy >>108 >うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき 分って無いんか？ 例を挙げよう 下記 選択公理と等価な命題で、”ベクトル空間における基底の存在”があり 次元定理が導かれる この応用として、下記に 具体的な {(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明で ”次元定理による証明”として、極めて簡潔な証明があるよ 直接法と比べて見れば良い 抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底で
あることが証明できる■ (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 選択公理と等価な命題 ベクトル空間における基底の存在 全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6) 基底 (線型代数学) 任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃
度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理（英語版）と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。 基底の存在 例 ベクトル空間 R2 を考える 一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。 直接証明 定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと R2 を生成することとを示す。 線型独立性 実数 a, b に対して線型関係
略す 全域性 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が R2 を生成することを示すには、いま (a, b) を R2 の勝手な元として、 略す 次元定理による証明 (−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、R2 の次元は 2 だから、{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。 正則行列を用いた証明 略す http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/111
112: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 00:34:51.47 ID:kyySIsuH >>111 >抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底であることが証明できる 選択関数の存在公理から、具体的な値が、箱入り無数目における確率であることが証明できる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/112
113: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 05:45:01.81 ID:PFLhGe5c >>111 >(−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、 >(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、 >二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。 >これを延長して基底が得られるはずだが、 問１ (2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？ >R2 の次元は 2 だから、 問２ R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？ >{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。 問３ 直接法からどんな手間が省けるか、ど
んな手間が省けないか それぞれ具体的に示せる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/113
114: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 05:59:13.32 ID:PFLhGe5c 有限次元線形空間に対する次元定理の証明に選択公理は不要 これ豆な 知らんで文句つける奴は・・・正真正銘のド素人！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/114
115: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 06:09:10.74 ID:PFLhGe5c 実は◆yH25M02vWFhPの>>111は 次元定理の肝心な点について述べてない だから 「空間の次元の濃度がＯで 濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら それだけでＢは基底だといえる」 みたいな主張になってるが・・・もちろん真っ赤な嘘である！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/115
116: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 10:56:52.68 ID:+HgMDnV2 >>111 補足 これ、典型的な存在定理（公理）の使い方 具体的な R2の線形空間の 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が、基底になっている 言い換えると、 (1,1), (−1,2) を、基底に取れる 証明を見ると、背後の数学の構造が分かる 証明から、基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる 典型例は、 (1,0), (0,1) だが、これが 一例にすぎないことも分かる 選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的である
ことを妨げない (1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない また、ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね これ、典型的な存在定理（公理）の使い方 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/116
117: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:19:14.27 ID:jVoKXl5z >>116 > 背後の数学の構造 御託を並べる前に>>113に答えてな > (1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない (1,-1)と(-1,1)だったら？ あかんやろ で、R^3のとき(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)だったら？ で、R^Nのとき、偶数番目の成分だけ1で、あと0のベクトルだったら？ 全部で可算個だぜ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/117
118: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:21:24.60 ID:jVoKXl5z ◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない だから>>115みたいなことを平気で言う 次元定理のステートメント、確認してみ？ おまえが想像してるものと全然違うから https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/118
119: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:21:40.23 ID:OopCfj4Z >>117 その御託がわからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/119
120: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:27:04.20 ID:kyySIsuH >>116 >選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない 選択関数を具体的に構成できるケースにおいてはそもそも選択公理を仮定する必要が無い。 根本的に分かってないね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/120
121: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:31:11.51 ID:OopCfj4Z わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/121
122: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:35:39.58 ID:kyySIsuH >>116 >選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない 存在しか言わないなら妨げないことは自明。 自明なことをさも価値ありげに語ってあなたは馬鹿なんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/122
123: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:36:26.58 ID:OopCfj4Z それがわからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/123
124: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:38:57.01 ID:kyySIsuH >>116 >ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね 選択関数の存在公理を適用すれば確率1-εで勝てることが分かる。 10年がかりで分からなかった人もいるようだけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/124
125: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:40:23.57 ID:kyySIsuH >>116 >基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる 今更？ｗ 大学1年のとき何を勉強したの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/125
126: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:45:57.44 ID:OopCfj4Z 真意が http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/126
127: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:52:08.07 ID:kyySIsuH >>116 >選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない >(1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない まったくトンチンカン。 基底が一つに限らないことと選択公理はまったく無関係。 そもそも有限次元線型空間の基底の存在証明に選択公理不要。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/127
128: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:54:09.41 ID:OopCfj4Z わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/128
129: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:55:58.53 ID:pqcYcNXl >>119 ↓はあなたにとって正しいの？ 「空間の次元の濃度がＯで 濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら それだけでＢは基底だといえる」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/129
130: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:59:25.23 ID:OopCfj4Z 正誤の問題？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/130
131: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 12:29:30.36 ID:ciXluVIY >>129の「」には反例がある つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合 単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が 元の空間より真に小さい場合があり得る だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが ◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる 有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、 と考えるのはあさはか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/131
132: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/04(火) 12:54:19.30 ID:DtP2sW/7 >有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、 >と考えるのはあさはか だから、有限バカ一代と呼ばれる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/132
133: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 12:59:50.80 ID:kyySIsuH 無限列にも最後の項がある 決定番号は無限大である 無限個の元を好きな順番に整列できる とも言ってたねｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/133
134: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 13:02:40.13 ID:6TW5wyv6 ＞無限個の元を好きな順番に整列できる これは選択関数次第という意味ではウソではない ただ、選択関数を１つ決めてしまったらもう任意性はないけど ついでにいうと、可算だからといって、整列が必ずωと同型になる、なんていえない 可算順序数は無数にあるから（それこそ非可算個ある） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/134
135: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 13:09:47.81 ID:kyySIsuH >これは選択関数次第という意味ではウソではない 選択関数を好きに構成できると？ 好きな順番に整列できるってことはそういうことだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/135
136: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/04(火) 13:16:43.18 ID:DtP2sW/7 >>134 たとえば >可算順序数は無数にあるから（それこそ非可算個ある） 1<4<...<ω_1<2<5<...<ω_2<3<6<...<ω_3 は整列順序で合ってる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/136
137: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 13:23:03.39 ID:951e302P ＞選択関数を好きに構成できると？ 「構成」はできない ただ、考えられる選択関数は無数にある http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/137
138: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 13:25:10.61 ID:kyySIsuH >>137 それだと好きな順番での整列は無理だね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/138
139: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 13:31:18.53 ID:OopCfj4Z わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/139
140: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 13:35:45.11 ID:R6/c8E8d >>136 3<5<… <6<10<… <12<20<… <2^3<2^5<… <2^6<2^10<… <2^12<2^20<… <2^2^3<2^2^5<… <2^2^6<2^2^10<… <2^2^12<2^2^20<… も順序数ω^ω（可算） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/140
141: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:04:09.21 ID:+HgMDnV2 皆さま お楽しみ中、お邪魔です ；ｐ） >>118 >◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない >だから>>115みたいなことを平気で言う >次元定理のステートメント、確認してみ？ >おまえが想像してるものと全然違うから >https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 えーと、おサルさん>>7-10 いきなり 難しい定理
のサイトに飛んで 消化不良ですよ まず 順番として 下記 高校数学の美しい物語 次元定理の意味，具体例，証明 さらに 数学の風景 線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明 を見なさい。後者は、図解が美しいよ。 その上で 英 wikipedia ”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。 （原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）” が、キモです
。百回音読しましょうねｗ ；ｐ） (参考) https://manabitimes.jp/math/1077 高校数学の美しい物語 次元定理の意味，具体例，証明 2021/03/07 行列における次元定理 A を m×n 実行列とするとき， rankA+dim(KerA)=n 目次 次元定理について 具体例 次元定理のイメージ 次元定理の証明 次元定理について rankA は A のランク（階数）です。→行列のランクの意味（８通りの同値な定義） dim は次元， KerA は A のカーネル（核）です。→行列のカーネル（核）の性質と求め方 「ランク，次元，カーネルってなんだ，全部初耳だよ」って方は，以下の具体
例とイメージを見てなんとなく雰囲気をつかんでください。 次元定理は行列に対してではなく一般の線形写像について述べられることも多いです。ただし意味はほとんど同じなので，行列の場合できちんと理解しておけばOKです。 Wikipediaでは「階数・退化次数の定理」と呼ばれています。 次元定理の証明（分かり易い 原文参照請う） 略す https://mathlandscape.com/rank-ker-dim/ 数学の風景 線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明 2023.05.10 証明 Imf,Kerf はベクトル空間であったことに注意(→ 線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそ
れが部分空間になる証明)。 V の基底になっていることを示すには， それらが一次独立であること 任意の v∈V がそれらの一次結合でかけること を示せばよい。順番に示していこう。 略す つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/141
142: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:04:36.10 ID:+HgMDnV2 つづき 英 wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem Rank–nullity theorem (google訳) ランク-ヌル定理（階数零定理） 階数零定理は線型代数学の定理であり、次のことを主張します。 略す したがって、等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。 （原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension,
either injectivity or surjectivity implies bijectivity.） 再定式化と一般化 この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。 より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。 略す A third fundamental subspace When T:V→W is a linear transformation between two finite-dimensional subspaces, with n=dim(V) and m=dim (W) (so can be represented by an m×n matrix M), the rank–nullity theorem asserts that if
T has rank r, then n−r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of T. In some texts, a third fundamental subspace associated to T is considered alongside its image and kernel: the cokernel of T is the quotient space W/Im(T), and its dimension is m−r. This dimension formula (which might also be rendered dim Im(T)+dimCoker(T)=dim(W) together with the rank–nullity theorem is sometimes called the fundamental theorem of linear algebra.[7][8] 再定式化と一般化 この
定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。 より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。 0→U→V→R→0 はベクトル空間の短完全列 であるので、 U⊕R≅Vしたがって dim（U）+ dim（R）=dim（V）. 略す We see that we can easily read off the index of the linear map T from the involved spaces, without any need to analyze T in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer
index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/142
143: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:04:55.51 ID:+HgMDnV2 つづき ついでに 独 wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz Rangsatz Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf. （google 英訳） Table of contents 1 Sentence 2 Proofs 2.1 Proof of the Homomorphism Th
eorem 2.2 proof by basis completion 3 reversal 4 generalization 仏 wikipedia https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_rang Théorème du rang （google 英訳） Rank theorem In mathematics , and more precisely in linear algebra , the rank theorem links the rank of a linear application and the dimension of its kernel . It is a corollary of an isomorphism theorem . It can be interpreted by the notion of linear application index . In finite dimension, it allows in particular to characterize th
e invertibility of a linear application or of a matrix by its rank. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/143
144: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 16:22:54.49 ID:Sli2Vii+ >>141 お○○はあんただろ >難しい定理 難しい？君にとって？ 数学科の学生にとっては易しいけどな そうでないなら数学科卒業できない >線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明 rank f=dim im f だから dim V = dim im f + dim ker f 有限次元の場合、dim V = dim im f だったら dim ker f=0 だから R^nの標準基底の像が線形独立なら 当然基底になる し・か・し、無限次元ではそんなことは言えない というのは∞＝∞＋ｘのとき、ｘ＝０なんて
いえないから >”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、 >単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。 >（It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, >either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）” >が、キモです。百回音読しましょうね 何回音読しても証明が理解できないんなら ヒトになれないただのサルだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/144
145: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 16:29:32.97 ID:Sli2Vii+ 大学１年の４月で数学落ちこぼれた 実質高卒の工学部卒の社奴◆yH25M02vWFhPにとって 次元定理はチョー難しいんだとｗｗｗｗｗｗｗ そりゃ数学板なんか全然無理だから 諦めて囲碁板にいきやがれ https://itest.5ch.net/subback/gamestones http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/145
146: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:33:49.38 ID:+HgMDnV2 >>131 (引用開始) >>129の「」には反例がある つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合 単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が 元の空間より真に小さい場合があり得る だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが ◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる 有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、 と考えるのはあさはか (引用終り) なるほど >>111 の ja.wikipedia 基底 (線型代数学) で en.wikipedia で 該当の Basis (linear alg
ebra) では ”This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. ”の一言があるね （ja.wikipediaの記述が滑っているか） ；ｐ） ついでに、”Proof that every vector space has a basis”貼るよ ”This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9]” (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra) Basis (linear algebra) This article deals mainly with fini
te-dimensional vector spaces. However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces. Basis vectors find applications in the study of crystal structures and frames of reference. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/146
147: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 16:34:09.89 ID:+HgMDnV2 つづき Proof that every vector space has a basis Let V be any vector space over some field F. Let X be the set of all linearly independent subsets of V. The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆. Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselv
es certain subsets of V). Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y. As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some el
ement Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax. It remains to prove that Lmax is a basis of V. Since Lmax belongs to X, we already know that Lmax is a linearly independent subset of V. If there were some vector w of V that is not in the span of Lmax, then w would not be an element of Lmax either. Let Lw = Lmax ∪ {w}. This set is an element of X, that is, it is a linearly independent subset of V (because w is not in the span of Lmax, and Lmax is ind
ependent). As Lmax ⊆ Lw, and Lmax ≠ Lw (because Lw contains the vector w that is not contained in Lmax), this contradicts the maximality of Lmax. Thus this shows that Lmax spans V. Hence Lmax is linearly independent and spans V. It is thus a basis of V, and this proves that every vector space has a basis. This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9] Thus the two a
ssertions are equivalent. (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/147
148: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 16:40:46.15 ID:R6/c8E8d 実数空間RはQ上の線型空間だが、 その基底は選択公理によってその存在が示されるだけであり、 具体的な構成はできない Hamel基底 https://mathlandscape.com/hamel/ ちなみに上記の基底の濃度は連続体濃度（つまり非可算） 言っておくが、任意の実数は、1,1/2,1/4,…,1/2^n,…の有理数倍の級数で表せるが 線型和は有限和なので、基底が連続体濃度であることとの矛盾は全くない （有限和と無限和を区別しない素人はギャアギャア騒ぐが 数学理解できない○○なのでほっとい
てよし） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/148
149: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 16:55:45.96 ID:pcU2dT60 >>148 R上の多項式全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底はあきらかに1,x,x^2,…である 一方 R上の形式的ベキ級数全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底は存在するが誰も書き表せない そんな馬鹿な？！といった奴は有限和と無限和が全く区別できない正真正銘の馬鹿 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/149
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