ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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408: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 09:53:39.41 ID:lz6oAIdr

>>397
>>『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』
>「実数Rは有理数Qの完備化」とわかっていれば、
>こんな愚問は決して発しない

ふっふ、ほっほ
なんだかねｗ
ＭＭ（数学成熟度）が低いと、頭に残らないらしいなｗｗ ；ｐ）
下記ですよーｗ なお、下記のHorst Herrlich氏は、ICMの招待講演者らしい

つまり、可算選択の公理があってさえ ”5. R is a Lindel¨ of space,”までだ（なお 6. Q is a Lindel¨ of space, とも）
なので、可算選択の公理じゃ 「実数Rは有理数Qの完備化」は とても とても いえない
まして、可算選択の公理さえ無い 生の『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』については、 殆ど答えが出ているだろう

(参考)(前スレより再録。なお、en.wikipediaでも 同様に Horst Herrlich が、参考文献で挙げられていた)
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/83-85
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語 可算選択の公理

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/408

409: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 09:54:02.01 ID:lz6oAIdr

つづき

There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X −→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.
Proposition 1.2 ([15]). Equivalent are:
1. in R, every bounded infinite set contains a convergent injective sequence,
2. every infinite subset of R is Dedekind-infinite.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([18]).
Obviously, the conditions of Theorem 1.1 imply the conditions of Proposition 1.2.
Is the converse true?
Observe that the following slight modifications of condition 1 in Proposition 1.2 hold in ZF:
(a) in R, every bounded countable set contains a convergent injective sequence,
(b) in R, for every bounded infinite set there exists an accumulation point.

＜Lindelöfとは？＞
en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space
Lindelöf space
In mathematics, a Lindelöf space[1][2] is a topological space in which every open cover has a countable subcover.
The Lindelöf property is a weakening of the more commonly used notion of compactness, which requires the existence of a finite subcover.

（注：上記の”(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous. (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29]”が、下記と思う）
alg-d.com/math/ac/continuous.html
トップ > 数学 > 選択公理 > 実数関数の連続性
壱大整域 20130323
一方，次の命題はZFで証明できる．
命題 f: R→Rとする．
fがRで連続 ⇔ 収束点列 { xn }n=0∞に対して limn→∞f(xn) = f(limn→∞xn)
証明 略す

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/409

417: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 11:44:56.26 ID:lz6oAIdr

>>387 つづき
>ヴィタリ集合 加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群)
>で、Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考える

Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考えるのは、布石でして
”数学での抽象化と具体化の行き来”>>347 の応用で
まず、抽象的な 下記の game1を、まず扱う （game1は、箱入り無数目と同じ rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/ ）
”Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers”

ここで
x = (xn)n∈N を、形式的冪級数に移して考える（余談：形式的冪級数は、数え上げで有用（下記））
記号を、下記にならって
R係数の 形式的冪級数R[[X]]、多項式環 R[X] とする
下記の game1のしっぽ同値は、f1[[x]],f2[[x]] ∈R[[X]]で
f1[[x]] - f2[[x]] :＝f(x)∈R[X]（多項式）となることだ
つまり、f1[[x]],f2[[x]]で ある n+1次より上の項が一致していて 差を取ると、n次多項式f(x)に落ちる

決定番号とは、f1[[x]],f2[[x]] で ある項から上が一致していることだから
それは n+1次より上の項の一致で、決定番号d:=n+1 です
（下記 game1 では "Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates). "の部分。なお R^Nとn ≥ Nとで Nは別物で PDF上ではフォントを変えて記述しているよ）

なので、決定番号d:=n+1 を考えることは、即ち n次多項式f(x) の次数nを考えることだ
ところで、下記  都築暢夫 広島大によれば、”多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
とある
だから、多項式環F[x]から 何も考えずに 一つ多項式f(x)を選ぶことは
即ち、無限次元の線形空間から 一つのベクトルを選ぶことで
それって、普通に 無限次元ベクトル（＝いかなる 任意有限n より大という意味）で
多項式の次数は 普通に 無限次（＝いかなる 任意有限n より大という意味）で
すよねｗ

一旦、ここまでを枕とするｗ ；ｐ）

(参考)
www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Consider the following two-person game game1:1 • Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers, and puts them in boxes labeled 1,2, ...

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/417

419: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 11:45:29.53 ID:lz6oAIdr

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
体上の一変数多項式環 K[X]

（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■

maspypy.com/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%83%BB%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%B9%E3%81%8D%E7%B4%9A%E6%95%B0%E6%95%B0%E3%81%88%E4%B8%8A%E3%81%92%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%AF%BE%E5%BF%9C%E4%BB%98%E3%81%91
maspyのHP 2023.09.25
[多項式・形式的べき級数]
（１）数え上げとの対応付け
（２）式変形による解法の導出
（３）線形漸化式と形式的べき級数
概要
ある種の数え上げの計算は、多項式・形式的べき級数に対する計算と結び付けることができます。数え上げの問題を、多項式・形式的べき級数に対する計算と読み替えて、代数的な式変形により答を得る手法が、競技プログラミングにおいても注目され始めているようです
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/419

434: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 20:08:08.05 ID:lz6oAIdr

>>427
(引用開始)
{・・{{{}}}・・}_ωが集合であると仮定すると、その元は一番外側の括弧を外したもの。
しかしωは後続順序数ではないのでその前者は存在しない。よって一番外側の括弧を外すことができない。
集合なのに一番外側の括弧を外すことができないのは矛盾だから、集合であるとした仮定が誤り。
つまり
>しかし だから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ある不明なものを別の不明なもので定義しただけであり、結局何の定義にもなっていない。
(引用終り)

良いんじゃね？ それで
・ZFC で、ゲーデルの不完全性定理の示すところ、ZFCで否定も肯定もできない命題が存在するよね
　だから、”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”はあり(ZFCの外の存在としてでも)
・そもそもが、無限公理についても デデキントは ”無限集合の存在”が 証明できると考えていたのです（下記 渕野）
・しかし、”無限集合の存在”は、他の公理から証明することができないとなって
　”無限集合の存在”の公理を置いた（いわゆる無限公理）
・「無限とはなんぞや？」 だが、”無限”を言葉で書くとまずい
　言葉で書くと、その書いたことばをまた定義しなければならない・・と 無限に後退してしまう
　だから、”無限集合”を公理としておいた
・だったら、それに準じて 必要ならば ”lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！”は、ありだろ？
　それが、従来の集合と異なる？　それがどうした？
　無限公理の示す 無限集合は それ以前の有限集合と異なる性質を持つよｗ ；ｐ）

(参考)
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1739-16.pdf
数理解析研究所講究録 2011年
Dedekindの数学の基礎付けと集合論の公理化
渕野昌 神戸大学

Ｐ173
3 無限の存在証明

晩年のDedekind が，無限の存在証明 ([3] の66.)の残ったままのテキストをこの再版に回してしまったことの背景だったのではないだろうか．
ただし，Dedekindの名誉のために付け加えておくと，1911年の時点では，無限の存在が集合論の他の公理から独立であることは，当時の若い集合論の研究者たちすら，まだ完全には把握しきれていなかった可能性がある．たとえば，Zermelo文[18]の公理系とよばれることになる体系の原形はで発表されているが，その初めで，Zermelo Zermeloは，
略す
と書いているし，Zermelo [18],下線の公理の命題の間の独立性についての，より踏み込んだ議論は，Fraenkelらである．無限公理の1922年の論文[7]までなされていないように思えるか(無限集合の存在を主張する公理)性はの集合論の他の公理からの独立(集合論のすべての公理を含む体系の中で), Hω (hereditarily f initeな集合の全体)と，この上に$\in$関係を制限したものの組からなる構造を作ると，そこでは，無限公理以外の集合論のすべてが成り立つことが確かめられ，そのことから「集合論の公理系が無矛盾なら，集合論の公理系から無限公理を除いた体系から無限公理は導かれない」ことが導かれるとして示すことができる．もちろん，[集合論の公理系が無矛盾なら」は，不完全性定理以降の時代に生きる我々の後知恵であるが(9),
略す
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/434

465: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 23:36:56.52 ID:lz6oAIdr

>>457 補足

余談だが、望月氏のIUT理論で、下記のグロタンディーク宇宙 を導入して ZFCGで彼の理論を展開したという
グロタンディーク宇宙とは？ 到達不能基数 なり〜！ｗ

最初聞いたとき、「到達不能基数？ なんじゃらほい？」と思ったけれど
慣れとは恐ろしいもので、「到達不能基数？ ああ、そういうこと？」って感じになってきたｗ ；ｐ）

要するに、ZFC公理系からは・・（だけでは？）到達できない 基数を導入するらしい
「それは、なんだ？」と聞かれたら？ 「到達不能基数です」と答える？ｗ

わけわからんでしょ？ｗｗ
とりあえずは、そういうのもありなんだよ。21世紀の数学ではねｗｗｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AD%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%BC%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99
グロタンディーク宇宙
グロタンディーク宇宙と到達不能基数
大まかに言うと、これはグロタンディーク宇宙が到達不能基数と同値なためである。より形式的に言えば、次の2つの公理が同値である:
(U) すべての集合 x に対して、x ∈ U となるグロタンディーク宇宙 U が存在する。
(C) すべての基数 κ に対して、κ よりも巨大な強到達不能基数 λ が存在する。

巨大基数の公理 (C) から宇宙の公理 (U) が導かれることを示すため集合 x を選ぶ。

(C) によって、|y| < κ となるような強到達不能基数 κ が存在する。u(κ) を前項の宇宙とする。
x は型 κ であり、x ∈ u(κ)。宇宙の公理 (U) から巨大基数の公理 (C) が導かれることを示すために κ を基数とする。κ は集合なのでグロタンディーク宇宙 U の元である。U の濃度は κ より大きな強到達不能基数となる。

実際、任意のグロタンディーク宇宙はある κ に対し u(κ) の形となる。これはグロタンディーク宇宙と強到達不能基数の間の別の同値性を与えるものである:

強到達不能基数の存在は ZFC からは証明できないため、空集合と
Vω 以外の宇宙の存在はどれも ZFC から証明することができない。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/465

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