ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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6: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 08:47:36.28 ID:lDxwqd7y

つづき

10おまけ：個人的な考え
ここでは、80年代から現在にいたるまで極小モデル理論で重要な位置を占めているX-論法と、最近の新しい議論について個人的な意見を少し書いてみたい。通常の論文などには書かない個人的な印象である。あくまで私の考えである。X-論法の最もすばらしい点は、その強力さにあると思う。広中の特異点解消定理と係数を揺するという小細工をつかうことにより、様々な結果を川又–Viehweg消滅定理の応用として示すことが出来るのである。

最後に少しネタをばらしておく。[F1]と[F2]で対数的標準対に対する評価付きの固定点自由性の問題を扱った。これらは川又対数的末端対に対する結果の完全な焼き直しである。数学的には大した結果ではないと思う。[F1]と[F2]はKoll´ar氏やAngehrn氏とSiu氏の議論の手直しに過ぎない。ただし、[F1]と[F2]での試行錯誤が今回の[F6]につながったので、そういう意味では[F1]と[F2]は私にとっては非常に価値があった。結局のところ、やっぱりいろいろやってみないとダメだな、と改めて思った。以上。

藤野修先生は、令和５年 大阪科学賞を受賞されています
おめでとうございます

(参考)
//osaka-prize.ostec.or.jp/41-1
第４１回（令和５年度）
大阪科学賞（OSAKA SCIENCE PRIZE）受賞者の横顔
藤野　 修　４９歳

研究業績：小平消滅定理の一般化と代数幾何学への応用
代数多様体とは、大雑把に言うと、有限個の多項式の共通零点集合のことです。高校の教科書に出てくる円、楕円、放物線などは代数多様体です。
もっと簡単な平面上の直線も代数多様体です。高校では主にxy平面上で幾何学図形を考えます。これは二次元の空間内で一次元の代数多様体を考えることに対応します。xyz空間の中の球面も代数多様体です。これは三次元空間内の二次元の代数多様体です。
このように代数多様体は素朴な幾何学的対象です。ここで変数の数を増やしてみましょう。幾何学的には高次元の空間を考えることになります。高次元の空間内で複数の代数多様体の交わりを考えます。私たちはこのような幾何学図形を日々研究しています。
日本人フィールズ賞受賞者３名の仕事も高次元代数多様体に関するものです。
残念ながら高次元の代数多様体は絵に描くことができません。
そこで私たちは抽象的な数学理論を展開します。高次元代数多様体論の究極目標の一つは双有理分類という大雑把な分類を完成させることです。
現在の標準理論は、森重文によって1980年代に創められた森理論や極小モデル理論と呼ばれるものです。
私は小平の消滅定理と呼ばれるコホモロジーの消滅定理の一般化を確立し、広中の特異点解消と小平消滅定理の一般化を駆使して森理論の適用範囲を究極的に拡張するという仕事をしました。
ホッジ理論的な観点からは理論の混合化を実行したことになります。
これにより、従来不可能であったぐちゃぐちゃに潰れた高次元代数多様体の研究も可能になり、代数多様体の退化や特異点の研究などに応用されています。
このような基礎研究が実社会で応用される日が来ることを夢見ています。

代数多様体とは？

代数多様体の双有理分類
すでに述べましたが、代数多様体論の究極目標の一つは、代数多様体を双有理的に分類することです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/6

7: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 08:48:01.67 ID:lDxwqd7y

つづき

数学者の日常

小平の消滅定理の一般化

ホッジ構造
非特異射影多様体のコホモロジーにはホッジ構造と呼ばれる構造が入ります。これは純ホッジ構造と呼ばれるものになっています。一般の代数多様体のコホモロジーには純ホッジ構造は入らないのですが、混合ホッジ構造と呼ばれる純ホッジ構造を拡張したものが入ります。
(引用終り)
以上

なお、
おサル＝サイコパス＊のピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets＊＊） （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
＜＊）サイコパスの特徴＞
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（＊＊）注；https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperboloid Hyperboloid
Hyperboloid of two sheets ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Hyperboloid2.png/150px-Hyperboloid2.png
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E9%9D%A2 双曲面
二葉双曲面 ：https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b5/HyperboloidOfTwoSheets.svg/180px-HyperboloidOfTwoSheets.svg.png

おサルさんの正体判明！（＾＾）
スレ12 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/923 より
”「ガロア理論 昭和で分からず 令和でわかる
　＃平成どうしたｗ」
昭和の末期に、どこかの大学の数学科
多分、代数学の講義もあったんだ
でも、さっぱりで、落ちこぼれ卒業して
平成の間だけでも30年、前後を加えて35年か”
”(修士の)ボクの専攻は情報科学ですね”とも

可哀想に、数学科のオチコボレで、鳥無き里のコウモリ***）そのもので、威張り散らし、誰彼無く噛みつくアホ
本来お断り対象だが、他のスレでの迷惑が減るように、このスレで放し飼いとするｗ（＾＾

注***）鳥無き里のコウモリ：自分より優れた数学DRやプロ数学者が居ないところで、たかが数学科のオチコボレが、威張り散らす姿は、哀れなり〜！（＾＾；

なお
低脳幼稚園児のAAお絵かき
小学レベルとバカプロ固定
は、お断りです

小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/7

8: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 08:49:48.41 ID:lDxwqd7y

つづき

再録します。おサルの傷口に塩ですｗ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683585829/508
2023/06/11(日)
下記だねｗ(>>63再録)
スレ主です
数学科オチコボレのサルさんｗ https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1674527723/5
線形代数が分かっていないのは、あ な た！ ｗｗｗ
前スレより
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1680684665/557
傷口に塩を塗って欲しいらしいなｗ
　>>406-407より以下再録
棚から牡丹餅というかｗ

つまり
・私「正方行列の逆行列」（数年前）
　↓
・おサル「正則行列を知らない線形代数落ちこぼれ」
　↓
・私「零因子行列のことだろ？知っているよ」
　↓
・おサル「関係ない話だ！」と絶叫
　↓
・おサル『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　↓
・私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」
　↓
・おサル『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』

＜解説＞
１）何度か、アホが気づくチャンスあった
　最初に”零因子”の意味を検索して知れば、「関係ない話だ！」と絶叫することもない
　（というか、”零因子”を知らないのは、ちょっと代数あやしいよねｗ）
２）『正則行列の条件なら、「零因子行列であること」はアウトですね
　いかなる行列が零因子行列か述べる必要がありますから』
　に、私「あんた、上記の自分の文章を読み返して おかしいと気づかないか？」と指摘された時点で
　”零因子”の意味を調べて理解すべきだったのだ
３）恥の上塗り『「０以外の体の元は乗法逆元を持たない」のつもりで
　「零因子以外の行列は乗法逆元を持たない」と書いて ケアレスミスだと言い張りたいんだろうけど』
　は、あまりにも幼稚。「ケアレスミス」の一言では片づけられないアホさ加減ｗｗｗｗｗｗ
4）確かに、私の「正方行列の逆行列」は不正確な言い方ではあったが
　アホさるの自爆を誘ったとすれば、怪我の功名というか、誘の隙(さそいのすき)というべきかｗｗ
　ゆかいゆかい！ｗｗ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/8

9: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 08:50:14.05 ID:lDxwqd7y

つづき

あほサルの続き

さて
『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』スレより
itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1731415731/771
2024/12/21
おサルさん
笑えるよ
>>684-686 >>689
(引用開始)
正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎関係を与え、
∈に関する整礎帰納法である”∈-induction”の適用を可能とする
全順序とか余計な一言を書いたせいで大恥かいたな　高卒童貞

正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない。
また正則性公理と関係無く推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。実際 {}∈{{}} ∧ {{}}∈{{{}}} は真だが、{}∈{{{}}} は偽。
>正則性公理は ”∈-induction”と関係していて
>ZFC内の全ての集合について”∈-”による整礎な全順序関係を与え
は大間違い
>また…推移律 a∈b ∧ b∈c ⇒ a∈c は成立しない。
　ヌォォォォ
　すまん・・・OTL
　工学部卒の自己愛童貞と違うので土下座で謝罪
(引用終り)
オレは、ここの次スレを立てることはしないが
自分の立てたスレが、数学板に3つある
おサルさんの学力顕彰のために、3つスレで 次回のスレ立ての
テンプレに入れるよ。そして、眺めてニヤリと笑うことにしよう
『正則性公理は∈を整礎関係たらしめると同時に反射律 a∈a を否定するため順序関係たらしめない』
か。妄言である！ 数学科オチコボレさんだってねｗ ガッハハｗｗ
(引用終り)

・整列集合 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
　『（選択公理に同値な）整列可能定理は、任意の集合が整列順序付け可能であることを主張するものである。整列可能定理はまたツォルンの補題とも同値である』
　『実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。』

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/9

10: １３２人目の素数さん [] 2025/02/01(土) 08:50:38.73 ID:lDxwqd7y

つづき

・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義 自然数の公理
　以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
　ここで
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
　と書ける
　何が言いたいか？
　{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり
　0＜1＜2＜3＜・・・ となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において
　∈を＜に書き換える
　そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
　と順序数の背番号がついていると思え
　あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
　{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
　上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
　私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ）
以上

あと
＜乗数イデアル関連（含む層）＞の話や
文学論、囲碁の話もあります
これも、5ｃｈらしくて良いと思いますｗ

テンプレは、以上です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/10

14: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [sage] 2025/02/01(土) 17:57:40.68 ID:lDxwqd7y

前スレ 再録
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/907
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)

これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
　順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を 導入しているんだ
で、写像 g の全単射を 言う
なるほどね

そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）

(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，￢|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．

α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．

よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは ￢|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．

よってこれによりXを整列する事ができる．

(2 ⇒ 3)略す

(3 ⇒ 1)略す

おまけ
(2⇒1)略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/14

28: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 11:23:54.05 ID:5scbwZz/

>>22
(引用開始)
>Xの元を すきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

＜反証＞
1）選択公理（選択関数）と整列可能定理が 同値であることを認めるとする
2）集合Xについて、整列可能定理を適用する
　Xから好きな元x1∈Xを取り出す。残り X':=X＼ {x1}
　X'から好きな元x2∈X'を取り出す。残り X'':=X'＼ {x2}
　すきなだけ繰り返す。その後に残ったものに 整列可能定理を適用する
3）さて、上記2）で そもそも 整列可能定理とは
　最後が空集合になるまで繰り返して良いとするものだった
　なので、整列可能定理における ”お好きなように”は、選択公理（選択関数）でも同じ
4）実際、下記 alg-d 壱大整域 整列可能定理 ⇒ 選択公理（選択関数）の証明で
　”整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である”
　とあるが、和集合 ∪_{λ∈Λ}X_λ の整列を 好きにして良いならば、
　f(λ) := (X_λの最小元) も好きにできる。つまり、f 選択関数 も好きにできる■

余談だが、”Take your choice”（好きなものを取りなさい）goo辞書 dictionary.goo.ne.jp/word/en/Take+your+choice./
choice には、お好きなように という意味がある

なお、存在のみで 具体的でない場合も可
例えば、実数Rの整列では、分るところのみを お好みにして、残りの 不明部分は 存在のみの公理任せも可！ｗ ；ｐ）
公理なんだものｗｗ

(参考)（原サイトの方が見やすいよ）>>14より
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題

証明
(2⇒1)
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/28

33: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 12:26:08.50 ID:5scbwZz/

>>28
(引用開始)
>Xの元を すきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)

典型的な、大学数学 オチコボレさんのパターンか？ ；ｐ）
下記ですね
下記の 謎の数学者氏 いま 阪大の数学科 准教授だが
彼のいう ＭＭ mathematical maturity 数学的成熟度 が、低いね

30年前 数学科修士卒で あれから30年でこれかい？
”選択関数”の 理解が 上滑りだよ

だから、箱入り無数目で 御大が 指摘する 数学の事項が
全く理解できないんだよね、あなたは！ｗｗｗ

誤解・無理解の選択公理（選択関数）で、ワーワー主張するけど、
その殆どが、大外しだよｗｗ ；ｐ）

(参考)
youtu.be/78os69XZrSk?t=1
大学に入ったら数学が突然難しくなる理由。日本の数学科の問題点。

謎の数学者
2021/04/06  #数学者への道

文字起こし
0:00
はいみなさんこんにちは数学者です
0:04
えっと今回はですねこういう話をしていこうかなと思うんですね
大学に入って数学ができなくなる理由ということなんですけれどコレですねあの皆さん
経験した方あるかもしれないですけれどやはりですね あの大学に入って突然ですね数学が
できなくなるということがですね結構あるんですね

2:12
極限の厳密な定義というやつですよねエプシロンでルターによるですねえまあ極限や
微分の厳密な定義
そういった
ことを習ってさらにですねいわゆる線形代数と呼ばれているやつですね

2:40
実は
学部自体は日本だったんですけれど数学科ではなかったんですね私
学部時代機械工学を
専攻したんですけれどそれでもですね大学に入って1年目でどういう授業どういう数学
の授業を取らされたかというとやはりここにあるようなイプシロンデルタとか線形
代数そういったところからですね入っていったんですね
ところがですねやはりこれは
私の考えではいきなりですねあのこういう
ところから入るというのはちょっとですね難しいんですねとりわけつの日本の標準的な
あのすぐ高校の数学のカリキュラム
そういったものを終えたばかりで突然ですね大学に入ってイプシロン デルタ法や線形
代数というのは多少ですねちょっと多少どころじゃないかもしれない
ちょっと急激に難しくなりすぎてるんですねつまりこれゲームバランスが崩壊している
というやつなんです

いわゆる数学的成熟度 mathematical maturity と書きますけれど

4:02
日本のですね大学受験を
突破したその時点での標準的ないわゆる 数学的成熟 mathematical maturity
ではですねこういったところはなかなか太刀打ちできないんですね
単純にレベルが足りないんですドラクエで言えばですねまぁ突然ゲームが難しくなると

7:17
私のこの数学の学び方というシリーズで
今のところですねいろいろお話してますのでまだ見てない方はですね
動画説明欄にリンクが貼ってありますので見ていただきたいんですけれど

10:11
あの今回はこれで終わります

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/33

37: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 18:25:21.05 ID:5scbwZz/

>>34 補足

下記の ツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明
ここでも、空集合以外の部分集合の順序構造を使う（詳しくは下記ご参照）

直感的には、>>15で示した 例示 ミニモデルで 集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }

これで 包含関係 で 順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）

それを、ZFCの証明として書くと 下記です
繰り返すが、上記の例示を 任意無限集合で ZFCの証明として書くと 下記

(参考)
ieyasu03.web.エフシーツー.com/contents/09_Mathematics.html（URLが通らないので検索たのむ）
基礎物理から半導体デバイスまで
集合・位相
ieyasu03.web.エフシーツー.com/Mathmatics/36_Well-ordering_theorem.html（URLが通らないので検索たのむ）
§36　整列定理 2023/04/07
1. 整列定理
　ツォルン（Zorn）の補題 [1] を用いて、次のツェルメロ（Zermelo）の整列定理が証明される。以下ではその証明について述べる [2]。
【定理1】（整列定理）
　A を任意の集合とするとき、A に適当な順序関係 ≦ を定義して、(A,≦) を整列集合とすることができる。
【証明】A の部分集合上には、一般に、幾通りもの順序関係が定義される。
いま、A の部分集合 W とそこで定義された順序関係 O との組である W を台とする順序集合 (W,O) を考え、
このような組のうち、整列集合となっているものの全体を ｍ とする（図1）。すなわち
略す
　【ツォルンの補題】 [1] によって （ｍ,ρ） には極大元 （W0,O0） が存在する。
このとき、実は W0=A でなければならないことが次のように示される。
もし、略

参考文献
　1) 「ツォルンの補題」
　2) 松坂和夫　数学入門シリーズ1『集合・位相入門』 p.113 岩波書店（2018/11/06）
　3) 「整列集合における補題」
　4) 「順序集合」
　5) 「選択公理」
　6) 「整列集合の比較定理」
　7) 「集合の濃度」

（上記とほぼ同じ証明の動画）
ヨーツベ/EXPGtoOzpb8?t=1
数学】Zornの補題から整列可能定理を導く！！！【VOICEROID解説】
現役数学科院生・うどん
2022/01/17
(コメント)
@イデアル-d6p
9 か月前
分かりやすいです
@財津匠
2 年前
とても理解の助けになりました！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/37

47: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 19:45:40.82 ID:5scbwZz/

>>41
(引用開始)
>突っかかるやつへの対抗ですよｗ ；ｐ）
君自身がコピペした内容理解してないから無意味
君、Jechの証明理解してないじゃん
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）もし 引用部分が正しいとするね
　そうすると、私の書いていることは
　基本は 引用部分のURLからの再引用（2度目の引用）であります ；ｐ）
　あるいは、引用部分のURLからの必然の事項となっています
2）従って、理解している いない には 関係なく
　ツッコミどころは、ない！ｗ
　（そこを たまに誤解して、”再引用（2度目の引用）”を 私個人の意見と誤解して ツッコミ入れる人居ますｗ。それ あなたですｗ）
3）Jechの証明、前スレより下記だね
　 en.wikipedia の ”sup{α∣aα is defined}”が分らんと言っていた人 あなたでしょ？ｗ
　私も 誤解がありましたが、>>14の alg-d 壱大整域氏 の証明で、ようやく理解できました

ご苦労さまですｗ ；ｐ）

前スレ 808より (参考)(再掲) 631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

Thomas Jechの 証明 再録（前スレ 848より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/47

56: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 21:56:48.01 ID:5scbwZz/

>>52-54
>「自分の好きな順番」と言う場合、「その順番ってZF内で記述できるの？」
>ということが問題になり、それが可能なら選択公理は要らないよね
>ということに気づかないのは、迂闊であり、有限バカだから。

1）整列可能定理で、整列させる順番は、決して一意ではない
2）それは、有限 or 無限 とは別問題ですよ
3）”それが可能なら選択公理は要らないよ”は、誤解と無理解の 複雑骨折ですねｗ ；ｐ）

>　選択関数を決めたら整列は一意だといったまで
>　選択関数が一意的でないのだから可能な整列も一意的ではない
>　さらに整列から選択関数も決められるが、
>　その場合可能な選択関数のすべてが実現できるわけではない

1）ある人が ある証明の中で 「選択関数を決めて 固定する」と宣言した
　それは、何の問題もない
2）しかし、それは その証明中だけ
　例えば、実数Rの整列を考えてみよう
　”実数Rの整列”を 決める？ 固定する？ それ ZFC内では無理ですよ
　そして、明らかに ”実数Rの整列”は 一意ではない
　何通りもあるだろう。多分 少なくとも 可算通りでは収まらない（下記ご参照）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/56

79: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/03(月) 11:25:44.20 ID:Kqr4zqHs

>>64-65
ID:bvvTKD+8 は、御大か
巡回ご苦労様です

なるほど
ご指摘の思い当たる点を 自分で赤ペンすると

(引用開始)
>>15で示した 例示 ミニモデルで 集合X={a,b,c,d} で
冪集合 P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
　∅ }
これで 包含関係 で 順序が入る
{a,b,c,d}⊃{a,b,d}⊃{a,b}⊃{a}⊃∅
で、整列順序の極大元になる
この前後の差分 c>d>b>a Xので整列になる
この極大は、幾通りもある（どれを選ぶも任意！！です）
(引用終り)

１）ここの素朴（ナイーヴ）な議論が、まずいってことですね
２）つまり、無限集合では
　ヒルベルトホテルのパラドックスが起きる ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
　例えば、順序数ω から 一つ減らしても ωのままです （順序数の演算ご参照 ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0 ）
３）この素朴な議論を、ZFC内で 正当化したのが >>14の alg-d 壱大整域氏 の証明で
　そこで 必要なのが　１）選択公理（及びそれと同値のZorn補題） ２）順序数 との対応付け
　ということですね
　これによって 当初の素朴（ナイーヴ）な議論のスジが、ほぼZFC内の議論に変換できている
４）ここで、注目すべきは 冪集合 P(X)には、⊃ による 順序構造とか
　X={a,b,c,d}を頂点にして 最底辺が 空集合∅ という 階層構造とかがある （一方 X自身には そういう構造の仮定はない）
　ここらを潜在的な構造として うまく ZFC内で 正当化しているのが、 >>14の alg-d 壱大整域氏 の証明です
　なお >>37の ツォルン（Zorn）の補題 → ツェルメロ（Zermelo）の整列定理の証明 も 同様です

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/79

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