ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
上下前次 1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

609: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/10(月) 20:14:10.08 ID:fq1QO0q/

>>551-553
おっちゃん、ご苦労さまです
下記 e (mathematical constant) 、皆さんの参考に貼ります ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
ネイピア数（ネイピアすう、英: Napier's constant）は、数学定数の一つであり、自然対数の底である。ネーピア数、ネピア数とも表記する。記号として通常は e が用いられる。

en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
e (mathematical constant)
Properties
Number theory
The real number e is irrational. Euler proved this by showing that its simple continued fraction expansion does not terminate.[38] (See also Fourier's proof that e is irrational.)

Furthermore, by the Lindemann–Weierstrass theorem, e is transcendental, meaning that it is not a solution of any non-zero polynomial equation with rational coefficients. It was the first number to be proved transcendental without having been specifically constructed for this purpose (compare with Liouville number); the proof was given by Charles Hermite in 1873.[39] The number e is one of only a few transcendental numbers for which the exact irrationality exponent is known (given by
μ(e)=2.[40]

An unsolved problem thus far is the question of whether or not the numbers e and π are algebraically independent. This would be resolved by Schanuel's conjecture – a currently unproven generalization of the Lindemann–Weierstrass theorem.[41][42]

It is conjectured that e is normal, meaning that when e is expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).[43]

In algebraic geometry, a period is a number that can be expressed as an integral of an algebraic function over an algebraic domain. The constant π is a period, but it is conjectured that e is not.[44]

（google訳）
実数 e は無理数です。オイラーは、単純な連分数展開が終了しないことを示してこれを証明した。[38] (e が無理数であるというフーリエの証明も参照してください。)

さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、e は超越数であり、有理係数を持つ非ゼロ多項式方程式の解ではないことを意味します。これは、特にこの目的のために構築されることなく超越数であることが証明された最初の数でした（リウヴィル数と比較してください）。この証明は1873年にシャルル・エルミートによってなされた。[39] eは、正確な無理数指数が知られている数少ない超越数のうちの1つです（
μ(e)=2.[40]

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/609

610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/10(月) 20:15:26.43 ID:fq1QO0q/

つづき

これまで未解決の問題は、e と π という数が代数的に独立であるかどうかという問題です。これは、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の現在証明されていない一般化であるシャヌエルの予想によって解決されるだろう。[41][42]

eは正規分布していると考えられており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。[43]

代数幾何学において、周期とは代数領域上の代数関数の積分として表現できる数です。定数πは周期であるが、eは周期ではないと推測される。[44]

en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational
Proof that e is irrational
The number e was introduced by Jacob Bernoulli in 1683. More than half a century later, Euler, who had been a student of Jacob's younger brother Johann, proved that e is irrational; that is, that it cannot be expressed as the quotient of two integers.
Euler's proof
Euler wrote the first proof of the fact that e is irrational in 1737 (but the text was only published seven years later).[1][2][3] He computed the representation of e as a simple continued fraction, which is
e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,・・・ ,2n,1,1,・・・ ].
Since this continued fraction is infinite and every rational number has a terminating continued fraction, e is irrational. A short proof of the previous equality is known.[4][5] Since the simple continued fraction of e is not periodic, this also proves that e is not a root of a quadratic polynomial with rational coefficients; in particular, e2 is irrational.

Fourier's proof
略す

Alternate proofs
略す

Generalizations
略す
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/610

612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/10(月) 21:05:42.74 ID:fq1QO0q/

>>606-608
おっちゃん、ご苦労さまです

下記ですな
が、はっきりした 図そのものが出てこない
下記の Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean David A. Cox  2016
P20/22 が そうかな？

Gauss 全集と付き合わせたいところだが、いまはここまで
ついでにヒットした資料貼っておく
（なお 下記 武部 尚志先生 ”作った資料を←こちらの「資料公開」の項に置いてみました”というが、リンクが無い！ｗ ；ｐ）

(参考)
ctnt-summer.math.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/1632/2016/02/coxctnt.pdf
Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean
David A. Cox Department of Mathematics and Statistics Amherst College dacox@amherst.edu CTNT, August 10, 2016

P20/22
Fundamental Domains Gauss knew that k′(τ)2 was Γ(2)-invariant, and he also knew the fundamental domain of Γ(2).
This fundamental domain appears twice in his collected works: InVolumeIII, published in 1863 and edited by Ernst Schering: InVolumeVIII, published in 1900 and edited by Felix Klein:

www.researchgate.net/publication/248675540_The_Arithmetic-Geometric_Mean_of_Gauss
The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss
January 1984
L’Enseignement Mathématique
David Cox

reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1800.html
日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長 （高瀬先生）
ガウスの数学日記90　「広義に於けるsin.lemn.」2012-07-28
数学日記の第105項目については、高木先生も『近世数学史談』の一章を使って詳述しています。その章というのは第9章のことなのですが、その第9章には「書かれなかった楕円函数論」という表題が附されています。これを要するに、ガウスはレムニスケート函数に対して成立する等式M(√2,1)=π/ωを糸口にして、楕円関数論という広大な大洋を発見したということになります。数学日記のガウス全集版テキストにも詳しい註記がついていて、そのようなことが書かれていますし、ガウスの楕円関数論がどのようにして発見されたのか、経緯は明瞭にわかります。ガウスはモジュラー関数さえ発見し、基本領域の図まで描いたと、高木先生は驚きを隠しません。
　高木先生の解説によると、ガウスは
　　π/M(1,√(1+μ^2))=ω,　π/M(μ,√(1+μ^2))=ω’
と置き、これらを用いて無限級数
　　S(u)=(π/μω)(4 sin πν/(h^(1/2)+h^(-1/2))-4 sin 3πν/(h^(3/2)+h^(-3/2))+…)
を作り、これを「広義に於けるsin.lemn.」と呼びました。sin.lemn.というのはレムニスケート関数のことですから、「広義に於けるsin.lemn.」という以上、ガウスははじめからレムニスケート関数の延長線上に位置を占める関数を、そのようなものが存在すると確信したうえで、探索していたことがわかります。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/612

613: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/10(月) 21:06:11.62 ID:fq1QO0q/

つづき

researchmap.jp/blogs/blog_entries/view/76981/c32e59a4375e56cf6222bbc9f132b5cb?frame_id=329253&lang=en
武部 尚志
楕円関数論の歴史
posted : 2014/04/23
参考にしたのは数理解析研究所講究録の高瀬正仁先生の「楕円関数論形成史叙述の試み」、Adrian Rice "In Search of the "Birthday" of Elliptic Functions",(雑誌のページでは "Bit by bit, the discoverers decided what it was they had discovered"), それに高木貞治「近世数学史談」。

前回 Marshall 氏は Gauss の楕円関数論への貢献について少し話していたけれど、今日私はまだ一言も Gauss と言っていない。実は Gauss は論文を発表せず、自分だけで研究していた。Abel や Jacobi に先立つこと三十年前から始めていて、レムニスケートの等分や算術幾何平均との関係、果ては百年後まで誰も理解出来なかった不思議な図を描いている。実はこれは SL(2,Z) の合同部分群 Γ(2) の基本領域で、Gauss が modular 関数の理論を知っていたことの証拠とされる。Gauss は論文発表しなくても平気。Authority ですからね。貧乏な Abel は職探ししなくちゃいけないから、とてもそんな悠長な事は言ってられなかった。

という訳で、作った資料を←こちらの「資料公開」の項に置いてみました。年表は xfig で作って pdf を吐かせた物。Bernoulli, Legendre, Jacobi, Gauss の全集はネット上のあっちこっちの公開図書館から pdf を落として、紹介に必要な部分だけ切り貼りしました。どう考えても著者の著作権は切れているものばかりですが（一番新しいのが Gauss 全集か Jacobi 全集）

www.math.kobe-u.ac.jp/publications/rlm10.pdf
楕円モジュラー関数j(τ)のフーリエ係数
九州大学数理学研究院 金子 昌信
この講義録は1998年9月14日から18日まで,神戸大学において「楕円モジュラー関数j(τ)のFourier 係数」と題して行った集中講義に基いて作られたものである.

第2章 j(τ)小史
脚注
Gauss の遺稿にあったΓ(2)の基本領域の図は, 1866 年刊行の全集III巻(477, 478ページ)では, おそらくは編者がその意味を取れず,誤って写されていたが,Fricke が編者に入った 1900 年刊行のVIII巻(105ページ)においてようやく正しく書き直された.
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/613

615: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/11(火) 00:17:27.13 ID:zr+dFWV7

>>612-613 補足
>武部 尚志
>という訳で、作った資料を←こちらの「資料公開」の項に置いてみました。年表は xfig で作って pdf を吐かせた物。Bernoulli, Legendre, Jacobi, Gauss の全集はネット上のあっちこっちの公開図書館から pdf を落として、紹介に必要な部分だけ切り貼りしました。どう考えても著者の著作権は切れているものばかりですが（一番新しいのが Gauss 全集か Jacobi 全集）

これ分りました
日本語 or English のスイッチが 右上にあり、日本語に切り替えると
”資料公開”が出て、その中で

https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/detail/229654/ee13e364a17be72679f15d64b4a78c33?frame_id=560986
タイトル Gauss 全集より lemniscate 積分関係の抜粋
カテゴリ 講義資料
概要 Gauss 全集より lemniscate 積分関係の抜粋（主に河田敬義「ガウスの楕円関数論」上智大学数学講究録 24 を参考にして関係箇所を一部だけ抜き出した）。
ダウンロード  gauss-extract.pdf https://researchmap.jp/multidatabases/multidatabase_contents/download/229654/ee13e364a17be72679f15d64b4a78c33/3786?col_no=2&frame_id=560986
があって

で、PDFがダウンロードできる。すると、このPDFの最後が P477 で、>>612の
David A. Cox Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean
P20/22 の領域図で、 InVolumeIII, published in 1863 and edited by Ernst Schering:
つまり、この古い版ですね
P20/22 の下の領域図が、
In VolumeVIII, published in 1900 and edited by Felix Klein:
で、>>613 九州大学数理学研究院 金子 昌信 氏
”・・・Fricke が編者に入った 1900 年刊行のVIII巻(105ページ)においてようやく正しく書き直された.”
に該当でしょう

で、私は 初見では Coxの二つの図の違いが分らなかったが
左端の縦軸から 丸く突き出している部分が、上の 1863年版は不正確で
下の 1900 年版が正解ってことですね

なるほどね
いまごろ分ったです （＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/615

616: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/11(火) 00:35:55.42 ID:zr+dFWV7

>>615
>主に河田敬義「ガウスの楕円関数論」上智大学数学講究録 24 を参考にして

下記ですね（最下段のPDF）
この河田先生PDFで、基本領域図は P160、161 にまたがる部分ですね
河田先生の解説がありますね。なるほどね

(参考)
https://cir.nii.ac.jp/all?q=%E4%B8%8A%E6%99%BA%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AC%9B%E7%A9%B6%E9%8C%B2&page=2
上智大学数学講究録
https://cir.nii.ac.jp/crid/1050010457800324096
ガウスの楕円関数論（高木貞治先生著"近世数学史談"より)
機関リポジトリ
https://digital-archives.sophia.ac.jp/repository/view/repository/20220411006
メタデータ ファイル有り
タイトル
ガウスの楕円関数論（高木貞治先生著"近世数学史談"より)
その他のタイトル
Gauss and Elliptic Functions
著者
河田, 敬義
著者別名
Kawada, Yukiyoshi
記事種別
Departmental Bulletin Paper
言語名
日本語/Japanese
出版者
上智大学数学教室
掲載誌名
上智大学数学講究録
号
24
開始ページ
1
終了ページ
184
発行日
1986-11
著者版フラグ
publisher
URI
https://digital-archives.sophia.ac.jp/repository/view/repository/20220411006
ダウンロード
2000020527_24.pdf https://digital-archives.sophia.ac.jp/pub/repository/20220411006/pdf/1_0-DC1_b61df82ad6fc9a75115710a291f4752a43491ee54daad76b74042319eaa7991b_1739287476281_2000020527_24.pdf?dl=1

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/616

622: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/11(火) 07:58:52.97 ID:zr+dFWV7

>>618-619
おサルさん
ありがとう
下記だね

https://en.wikipedia.org/wiki/Cayley_graph
Cayley graph

Connection to group theory

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B1%E3%82%A4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%95
ケイリーグラフ
ケイリーグラフ（英: Cayley graph, Cayley diagram）とは群の抽象的な構造を表現するアーサー・ケイリーの名に由来するグラフである。特定の（ふつうは有限な）群の生成集合に対して使われ、組合せ論的あるいは幾何学的群論における中心的な道具である。

なお、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%BE%A4
モジュラー群

双曲平面のタイル貼り
このことはまた、基本領域（英語版）を構成することができることを意味する。（大まかには、）基本領域は H の中のすべての z の軌道からちょうど一つづつの代表元を選ぶことで構成することができる。（領域の境界に注意が必要である。）

基本領域を構成する方法は多数あるが、すべてに共通なことは、領域
略す
は、垂直線 Re(z) = 1/2 と Re(z) = −1/2 と円 |z| = 1 により囲まれていることであり、双曲三角形である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_domain
Fundamental domain 基本領域（英語版）

Fundamental domain for the modular group
The diagram to the right shows part of the construction of the fundamental domain for the action of the modular group Γ on the upper half-plane H.

This famous diagram appears in all classical books on modular functions. (It was probably well known to C. F. Gauss, who dealt with fundamental domains in the guise of the reduction theory of quadratic forms.)
google訳
この有名な図は、モジュラー関数に関するすべての古典的な本に登場します。（これは、2次形式の簡約理論の形で基本領域を扱ったCFガウスにはよく知られていたでしょう。）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/622

上下前次 1-新書関写板覧索設栞歴

あと 343 ﾚｽあります
ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.018s