雑談はここに書け！【６７】 (510ﾚｽ)
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482(1): 10/10(金)04:31 ID:tI5DsBLW(1/10) AAS
>>479-481
そもそも、無理数度の定義が書かれている本の定義とネットの定義が違っている
487(1): 10/10(金)09:13 ID:tI5DsBLW(2/10) AAS
仮にネットの定義が正しいとする
すると、次のことが定義だという：
任意の2より大きい無理数度μを持つ正の無理数aについて、
|a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q は高々有限個しか存在しない
或る正の無理数aが存在して、或る2より大きい有限な実数μが存在して、
正の無理数aの無理数度が 2＜μ＜+∞ なる無理数度μであるとする
定義から、|a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q は高々有限個しか存在しない
省1
488: 10/10(金)09:14 ID:tI5DsBLW(3/10) AAS
任意に p/q∈A を取る
aは正の無理数であるから、Aの定義から、|a−p/q|＞0 である
また、正の無理数aの無理数度μについて 2＜μ＜+∞ であるから、
|a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、
0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、
確かに q≦0 なることはあり得ず q＞1 である
同様に 2＜μ＜+∞ であるから、Aの定義から、|a−p/q|＜1/q^μ なる
省17
492: 10/10(金)12:33 ID:tI5DsBLW(4/10) AAS
>>489-491
余り訂正する気がなくて、訂正しなかった
493(1): 10/10(金)16:17 ID:tI5DsBLW(5/10) AAS
>>490
私がいっていた無理数度の定義は、無理数と超越数 塩川 宇賢 (著) や
数論 講義と演習 塩川 宇賢 (訳) に書いてある無理数度の定義のことを指している
494: 10/10(金)16:19 ID:tI5DsBLW(6/10) AAS
正の無理数aを任意に取る。正の無理数aに対して定義される
無理数度 μ(a) が 2＜μ(a)≦+∞ を満たすとする
無理数度の定義から、|a−p/q|＜1/q^{μ(a)} が成り立つ
有理数 p/q は高々有限個しか存在しない
実数直線Rの部分集合Gを
G＝{ μ∈R | |a−p/q|＜1/q^μ が成り立つ有理数 p/q は高々有限個しか存在しない }
と定義する
省4
495(2): 10/10(金)16:21 ID:tI5DsBLW(7/10) AAS
(続き)
aは正の無理数であって、aと1は有理数体Q上一次独立であるから、
A(μ) の定義から、|a−p/q|＞0 である
また、正の無理数aの無理数度 μ(a) の定義に着目すれば、2＜μ≦+∞ である
よって、|a−p/q|＜1/q^μ を満たす有理数 p/q の分母qについて、
0＜|a−p/q|＜1/q^μ なることに注意すれば、
確かに q≦0 なることはあり得ず q≧1 である
省16
496: 10/10(金)16:24 ID:tI5DsBLW(8/10) AAS
(続き)
以上の考察から、任意に正の無理数aを任意に取った
正の無理数aの無理数度 μ(a) が 2＜μ(a)≦+∞ であるときは、
正の無理数aの無理数度 μ(a) を次のように定義することが出来る：
任意に正の無理数aを取ったとき、正の無理数aに対して定義される
2＜μ(a)≦+∞ なる実数 μ(a) が無理数aの無理数度であるとは、
任意の正の実数εに対して、|a−p/q|＜1/q^{μ(a)＋ε} を満たす
省1
497: 10/10(金)17:22 ID:tI5DsBLW(9/10) AAS
>>495の下から3行目と4行目の間に，次の文を挿入：
p/q∈A(μ) なる有理数 p/q は任意であるから、A(μ) は可算集合である
498: 10/10(金)17:22 ID:tI5DsBLW(10/10) AAS
>>495の下から3行目と4行目の間に，次の文を挿入：
p/q∈A(μ) なる有理数 p/q は任意であるから、A(μ) は可算集合である
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