雑談はここに書け！【６７】 (511ﾚｽ)
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380(3): 09/25(木)17:24 ID:ABGVOhvU(1/7) AAS
π^π を代数的数と仮定する
π＞1 から π^π は正の実数だから、π^π に対して
或る実代数的数aが存在して π^π＝a であって a＞π＞1＞0 であるから π＝a^{1/π} である
π^π＝a なることに注意して、確かに a＞1 なる実数aに対して
定義される実変数xの指数関数 f(x)＝a^x を考えれば a＞π だから π＝a^{1/π}＞π^{1/π} である
πは無理数であって、πの π＝2Σ _{k^-0,1,…,+∞}(((2k−1)!!)/((2k＋1)((2k)!!)) なる
有理級数表示に注意すれば、無理数πに収束する単調増加な有理数列は存在する
省16

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381(2): 09/25(木)17:56 ID:ABGVOhvU(2/7) AAS
興味深いことに、可算無限個の a＞1 なる無理数aが存在して、aに収束する有理数列は存在しない

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383(1): 09/25(木)18:04 ID:ABGVOhvU(3/7) AAS
可算無限個の a＞1 なる無理数aが存在して、aに収束する有理数列は存在しない
→ 可算無限個の a＞1 なる無理数aが存在して、aに収束する「単調増加な有理数列」は存在しない

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384(1): 09/25(木)18:08 ID:ABGVOhvU(4/7) AAS
>>382

>>380-381の考え方は間違っていない

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386: 09/25(木)18:25 ID:ABGVOhvU(5/7) AAS
可算無限個の a＞1 なる無理数aが存在して、aに収束する「単調増加な有理数列」が存在しない
→
可算無限個の a＞1 なる無理数aが存在して、
aに収束しかつ任意の正の整数nに対して a_n＞1 なる
単調増加な有理数列 {a_n} は存在しない

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389: 09/25(木)18:37 ID:ABGVOhvU(6/7) AAS
>>385
あ、
1＞1/((b_{n+1}))^{b_n})＞1/(b_{n+1}) であって b_{n+1}＞(b_{n+1})^{b_n}
→ 1＞1/((b_{n+1}))^{1/(b_n)})＞1/(b_{n+1}) であって b_{n+1}＞(b_{n+1})^{1/(b_n)}
か。ということは、何もいえないか

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390: 09/25(木)18:43 ID:ABGVOhvU(7/7) AAS
>>388
MTconjectureの反例が何かは知らない
MTconjectureの反例を意識して書いた訳ではない

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