ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ12 (1002ﾚｽ)
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950: 02/02(日)19:16 ID:eC5TmypE(14/39) AAS
逆に整列からP(X)-{φ}の各々の最小元を選ぶ選択関数を作る方法では
P(X)-{φ}の任意の選択関数が実現されるわけではない

951: 02/02(日)21:29 ID:eC5TmypE(15/39) AAS
2chｽﾚ:math
> 数学の証明は、その背後の数学的構造を反映する鏡であり
> 数学の証明を理解することは、背後の数学的構造を理解すること

つまり実数も線形空間も集合も数学的構造を誤解してるから
証明がまったく読めず誤解した、ということですね

952: 02/02(日)21:36 ID:eC5TmypE(16/39) AAS
１と異なる0.999…が存在しないこと
⇔
[0,1)∩[0.9,1)∩[0.99,1)∩…＝{}であること

953: 02/02(日)21:37 ID:eC5TmypE(17/39) AAS
実数の連続性（じっすうのれんぞくせい、continuity of real numbers）とは、
実数の集合がもつ性質である。
有理数はこの性質を持たない。

954: 02/02(日)21:37 ID:eC5TmypE(18/39) AAS
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる。
また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。

955: 02/02(日)21:38 ID:eC5TmypE(19/39) AAS
実数の連続性と同値な命題は多数存在する。

956: 02/02(日)21:39 ID:eC5TmypE(20/39) AAS
デデキントの公理
(A,B)を実数の集合Rの切断とすれば、
Aに最大元があってBに最小元がないか、
Bに最小元があってAに最大元がないか
のいずれかである。

957: 02/02(日)21:41 ID:eC5TmypE(21/39) AAS
上限性質
Rは上限性質 (least upper bound property) をもつ。
つまり、Rの空でない上に有界な部分集合は上限を持つ。

これは双対性の原理から次と同値である。
Rは下限性質 (greatest lower bound property) をもつ。
つまり、Rの空でない下に有界な部分集合は下限を持つ。

これらの上限性質をもつ（つまり、下限性質をもつ）ことを
省1

958: 02/02(日)21:42 ID:eC5TmypE(22/39) AAS
有界単調数列の収束定理

959: 02/02(日)21:42 ID:eC5TmypE(23/39) AAS
アルキメデス性と区間縮小法の原理を満たす

960: 02/02(日)21:43 ID:eC5TmypE(24/39) AAS
ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理

961: 02/02(日)21:43 ID:eC5TmypE(25/39) AAS
アルキメデス性を持ち、かつ、コーシー列は収束する

962: 02/02(日)21:44 ID:eC5TmypE(26/39) AAS
中間値の定理

963: 02/02(日)21:45 ID:eC5TmypE(27/39) AAS
最大値の定理

964: 02/02(日)21:45 ID:eC5TmypE(28/39) AAS
ロルの定理

965: 02/02(日)21:45 ID:eC5TmypE(29/39) AAS
ラグランジュの平均値の定理

966: 02/02(日)21:46 ID:eC5TmypE(30/39) AAS
コーシーの平均値の定理

967: 02/02(日)21:48 ID:eC5TmypE(31/39) AAS
ハイネ・ボレルの定理

968: 02/02(日)21:55 ID:eC5TmypE(32/39) AAS
体の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して
Aが正則行列である、すなわち、
AB=E=BAを満たす n 次正方行列 B が存在すること
と同値な条件は多数存在する

969: 02/02(日)21:55 ID:eC5TmypE(33/39) AAS
AB = E となる n 次正方行列 B が存在する
BA = E となる n 次正方行列 B が存在する

970: 02/02(日)21:56 ID:eC5TmypE(34/39) AAS
A の階数は n である

971: 02/02(日)21:57 ID:eC5TmypE(35/39) AAS
A は左基本変形のみによって単位行列に変形できる
A は右基本変形のみによって単位行列に変形できる

972: 02/02(日)21:57 ID:eC5TmypE(36/39) AAS
一次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない

973: 02/02(日)21:57 ID:eC5TmypE(37/39) AAS
A の行列式は 0 ではない

974: 02/02(日)21:58 ID:eC5TmypE(38/39) AAS
A の列ベクトルの族は線型独立である
A の行ベクトルの族は線型独立である

975: 02/02(日)21:58 ID:eC5TmypE(39/39) AAS
A の固有値は、どれも 0 でない

976: 02/03(月)05:15 ID:RHKFtm92(1/25) AAS
選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは
公理的集合論における公理のひとつで、
どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、
それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。
1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。

977: 02/03(月)05:15 ID:RHKFtm92(2/25) AAS
以下の命題は全て選択公理と同値である。
つまり、以下の命題のいずれかを仮定すると選択公理を証明することができるし、
逆に選択公理を仮定すると以下の命題が全て証明できる。

978: 02/03(月)05:16 ID:RHKFtm92(3/25) AAS
整列可能定理：任意の集合は整列可能である。

979: 02/03(月)05:17 ID:RHKFtm92(4/25) AAS
ツォルンの補題；順序集合において、任意の全順序部分集合が有界ならば、極大元が存在する。

980: 02/03(月)05:17 ID:RHKFtm92(5/25) AAS
テューキーの補題：有限性（英語版）を満たす空でない任意の集合族は包含関係に関する極大元を持つ。

981: 02/03(月)05:18 ID:RHKFtm92(6/25) AAS
比較可能定理：任意の集合の濃度は比較可能である。

982: 02/03(月)05:18 ID:RHKFtm92(7/25) AAS
直積定理：無限個の空集合でない集合の直積は空集合ではない。

983: 02/03(月)05:19 ID:RHKFtm92(8/25) AAS
右逆写像の存在：全射は右逆写像を有する。

984: 02/03(月)05:21 ID:RHKFtm92(9/25) AAS
ケーニッヒ（Julius König）の定理：濃度の小さい集合の直和より、濃度の大きい集合の直積のほうが濃度が大きい。

985: 02/03(月)05:22 ID:RHKFtm92(10/25) AAS
ベクトル空間における基底の存在：全てのベクトル空間は基底を持つ（ただし、正則性公理が必要になる）

986: 02/03(月)05:23 ID:RHKFtm92(11/25) AAS
チコノフの定理：コンパクト空間の任意個の積空間はコンパクトになる。

987: 02/03(月)05:23 ID:RHKFtm92(12/25) AAS
クルルの定理：単位元をもつ環は極大イデアルを持つ。

988: 02/03(月)05:33 ID:RHKFtm92(13/25) AAS
選択公理は別に成り立たなくても矛盾しない

989: 02/03(月)05:34 ID:RHKFtm92(14/25) AAS
箱入り無数目で、確率Pで勝てる戦略があってもなくても矛盾しない

990: 02/03(月)05:35 ID:RHKFtm92(15/25) AAS
選択公理が成り立つなら箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在する
箱入り無数目で確率Pで勝てる戦略が存在しないなら選択公理は成り立たない

991: 02/03(月)15:14 ID:RHKFtm92(16/25) AAS
手を動かしてまなぶ ε-δ論法

1．数列の極限と連続の公理　
2．連続関数
3．関数項級数と一様収束　
4．関数の微分
5．リーマン積分
6．リーマン積分の応用

992: 02/03(月)15:15 ID:RHKFtm92(17/25) AAS
1．数列の極限と連続の公理　
　§1　数列の極限（その１）
　§2　数列の極限（その２）
　§3　連続の公理（その１）
　§4　連続の公理（その２）

993: 02/03(月)15:15 ID:RHKFtm92(18/25) AAS
2．連続関数
　§5　関数の極限
　§6　関数の連続性とワイエルシュトラスの定理
　§7　中間値の定理と逆関数

994: 02/03(月)15:15 ID:RHKFtm92(19/25) AAS
3．関数項級数と一様収束　
　§8　級数
　§9　関数項級数とべき級数
　§10　上極限と下極限
　§11　一様収束
　§12　指数関数と三角関数

995: 02/03(月)15:16 ID:RHKFtm92(20/25) AAS
4．関数の微分
　§13　微分に関する基本事項
　§14　べき級数の項別微分
　§15　三角関数と双曲線関数
　§16　対数関数とべきの一般化
　§17　逆三角関数

996: 02/03(月)15:16 ID:RHKFtm92(21/25) AAS
5．リーマン積分
　§18　定義と基本的性質
　§19　可積分条件（その１）
　§20　可積分条件（その２）
　§21　連続関数の一様連続性とリーマン積分
　§22　項別積分と項別微分

997: 02/03(月)15:17 ID:RHKFtm92(22/25) AAS
6．リーマン積分の応用
　§23　広義積分
　§24　曲線の長さ

998: 02/03(月)15:18 ID:RHKFtm92(23/25) AAS
手を動かしてまなぶ集合と位相

1．集合
2．写像と二項関係
3．濃度と選択公理
4．ユークリッド空間
5．距離空間（その１）
6．位相空間
省3

999: 02/03(月)15:19 ID:RHKFtm92(24/25) AAS
1．集合
　§1　集合の定義
　§2　集合の演算
　§3　全体集合

2．写像と二項関係
　§4　写像
　§5　全射，単射と合成写像
省8

1000: 02/03(月)15:20 ID:RHKFtm92(25/25) AAS
サラヴァ

1001(1): 1001 ID:Thread(1/2) AAS
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life time: 33日 5時間 23分 27秒

1002(1): 1002 ID:Thread(2/2) AAS
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