[過去ﾛｸﾞ] 抽象化って無意味では？ (12ﾚｽ)
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1(1): 2024/11/24(日)19:31 ID:IIte6yyM(1/2) AAS
使える公理を少なくしたら証明できる命題は少なくなるんだから
2: 2024/11/24(日)19:43 ID:IIte6yyM(2/2) AAS
位相空間に対して証明できることは、ℝⁿにも証明できる
ならば、ℝⁿだけやればいいのでは？
3: 2024/11/24(日)20:20 ID:TRCcTe9L(1/9) AAS
ある概念Aを満たす具体例の族 (T_λ｜λ∈Λ) が
与えられたとして、この族から同じ概念Aを満たす
別の具体例 T を作りたいとする。
よくあるのは、T_λ から何らかの意味での
極限を取った対象を T とすること。
4: 2024/11/24(日)20:22 ID:TRCcTe9L(2/9) AAS
ここで、概念Aの定義として要求されている項目が
P1,P2,…,P10の10個だったとする。すると、
T_λから生成された T が再び概念Aを満たしているかは、
T が P1,…,P10 の10個を満たすかをチェックしなければ
判別できない。
5: 2024/11/24(日)20:22 ID:TRCcTe9L(3/9) AAS
そして、P1,…,P10 が具体的すぎて十分な抽象化に到達してない場合、
そもそも T_λ の族から作った T は P1,…,P10 を満たさず、
構成に失敗することもある。
6: 2024/11/24(日)20:25 ID:jaWAOK+r(1) AAS
働けウンコ製造機
7: 2024/11/24(日)20:25 ID:TRCcTe9L(4/9) AAS
ここで、概念Aを抽象化した新しい概念Bがあるとする。
この概念Bにおいては、要求されている項目が
Q1,Q2,…,Q5 の5個しかないとする。
8: 2024/11/24(日)20:26 ID:TRCcTe9L(5/9) AAS
この場合、概念Bの具体例の族 (T_λ｜λ∈Λ) が
与えられたとして、この族から同じ概念Bを満たす
別の具体例 T を作りたいときに、Tに対して
チェックすべき項目はQ1〜Q5の5個だけで済む。
しかも、Q1〜Q5が十分に抽象化されているなら、
Tは実際に Q1〜Q5 を満たし、従ってTの構成に成功する。
9: 2024/11/24(日)20:27 ID:TRCcTe9L(6/9) AAS
抽象化の利点はこういうところにある。
具体的すぎる定義では、概念レベルでの「変形理論」が
うまく構築できず、よって数学的道具が増えないので、
無駄に難易度が高くなるだけで、発展性がないのである。
10: 2024/11/24(日)20:51 ID:TRCcTe9L(7/9) AAS
>>1
＞使える公理を少なくしたら証明できる命題は少なくなるんだから
たとえば「群の公理」は少ない公理数だが、少ないがゆえに、
ある対象が群であるかをチェックするには、少ないチェック項目だけで済む。
11: 2024/11/24(日)20:53 ID:TRCcTe9L(8/9) AAS
これは「群の変形」において大きなメリットがある。
(G_λ｜λ∈Λ) という群の族があったときに、
その族から新しい群 G を作りたいときに、
G が群であるかをチェックするのも、少ない項目で済むからだ。
12: 2024/11/24(日)21:01 ID:TRCcTe9L(9/9) AAS
もしチェック項目が多かったら、G は群にならないかもしれない。
もちろん、G_λにどのような操作を施してGを作るのかという
個別の話はあって、そことの噛み合わせの問題も出てくるのだが、
一般的にはチェック項目が少ない方が、Gは群になりやすく、
群の変形がしやすい。
これは一般的に当てはまることで、
チェック項目が多いほど変形理論が作りにくい。
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