複素解析の最高の教科書は？ (537ﾚｽ)
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1(1): 2024/11/19(火)19:16 ID:Z8NikThh(1) AAS
アールフォルスは計算問題が少なくていかん
457(1): 05/27(火)11:59 ID:9o/VzHqM(2/4) AAS
堀川穎二著『複素関数論の要諦』
1 / (1 + z + z^2) をべき級数展開せよ。
1 / (1 + z + z^2) = Σ (-1)^n * (z + z^2)^n などとする解答が1番目の解答として書いてあります。
2番目の解答が部分分数展開を用いる方法です。
これについて「たぶん、これが一番スマートであるが、スマートなことばかりやっていると腕力がつかない。」などと書いています。
スマートというより自然な解答だと思います。
1番目の解答はお遊びですよね。
458: 05/27(火)12:00 ID:9o/VzHqM(3/4) AAS
>>457
訂正します：
堀川穎二著『複素関数論の要諦』
1 / (1 + z + z^2) をべき級数展開せよ。
1 / (1 + z + z^2) = Σ (-1)^n * (z + z^2)^n などと始める解答が1番目の解答として書いてあります。
2番目の解答が部分分数展開を用いる方法です。
これについて「たぶん、これが一番スマートであるが、スマートなことばかりやっていると腕力がつかない。」などと書いています。
省2
459: 05/27(火)12:03 ID:9o/VzHqM(4/4) AAS
「たぶん、これが一番スマートであるが、スマートなことばかりやっていると腕力がつかない。」
確かにこれには一理あると思います。
例えば、教科書の本文だけ読んで数学をマスターしようとするとスマートなことばかりやることになります。
演習問題を解くとスマートなやり方ばかり思いつくわけではないので、泥臭い解答になることがあります。
これが演習の効果ですかね。
460: 05/27(火)18:13 ID:U86i/UPw(1) AAS
>>430
早々のお返事をありがとうございました！
調べましたが楠先生の解析函数論はリーマン面やベルグマン核の記述が詳しく先々の研究の動機が得られそうな気がしました
吉田先生の函数論より私はこちらに強く惹かれました
スタインやアールフォルス以外にもこんなに素晴らしい和書があったのですね
461: 05/28(水)06:04 ID:CTASdXCp(1) AAS
現代の古典、トレッキング、特論もおすすめ
462: 05/28(水)06:22 ID:HPXJLdYF(1) AAS
ありがとうございます！
そちらの本も調べてみますね
解析函数論の復刊を希望します
463: 05/30(金)05:39 ID:tEOSw+fR(1/4) AAS
主著と言えばやはり
函数論ーー等角写像とリーマン面
464: 05/30(金)08:15 ID:6uApltVJ(1/2) AAS
厚い方の本ですね
フォルスターのリーマン面よりやはりこちらがお勧めですか？
465(1): 05/30(金)08:21 ID:tEOSw+fR(2/4) AAS
Forsterは代数幾何向き
楠は複素解析
466: 05/30(金)10:54 ID:LqfjoOWR(1) AAS
複素解析なら中井の「リーマン面の理論」もお勧め
467: 05/30(金)12:00 ID:GVV6rT6D(1/2) AAS
復刊 リーマン面
及川 廣太郎
はどうですか？
468: 05/30(金)16:10 ID:GVV6rT6D(2/2) AAS
∫_{|z|=r} 1 / (z - 1) dz について質問です。
「d/dz log(z - 1) = 1/(z - 1) であるが、 log(z - 1) は多価関数なので注意が必要。
r > 1 のとき、 z - 1 の偏角は 0 から増加して、 z = 1 + √(r^2 - 1) で π/2 になり、 z = -r で π になる。残りの半周では、偏角は π から 2 * π に変化する。
したがって求める積分の値は 2 * π * i となる。」
なぜこの場合 2 * π * i になるのですか？コーシーの定理は使わずに説明してください。
469: 05/30(金)17:48 ID:6uApltVJ(2/2) AAS
>>465
もやもやが一発で氷解しました！
ありがとうございました
470(1): 05/30(金)22:01 ID:tEOSw+fR(3/4) AAS
小松先生の「等角写像論」と
Forsterの{Lectures on Riemann surfaces」は
著者本人たちから手渡しでもらった
471: 05/30(金)22:33 ID:tEOSw+fR(4/4) AAS
及川先生の「リーマン面」は
4年生が読むのにちょうどよかった
472: 05/31(土)08:32 ID:gxTfMD+Z(1/2) AAS
有限性定理の証明はこの本のやり方が最も簡明
473: 05/31(土)11:43 ID:EU+7At4C(1) AAS
↓これって非常に明らかだと思いますが、なぜ得意の「明らか」で済ませないのでしょうか？
閉曲線とは限らない曲線 C : z = z(t) (a ≦ t ≦ b) は原点を通らないとする。このとき、次の(1), (2)をみたす関数 θ(t) (a ≦ t ≦ b)を定義できることを示せ。
(1) θ は閉区間 [a, b] で1価連続である。
(2) 各 t ∈ [a, b] において、 θ(t) - Arg z(t) ∈ 2 * π * Z が成り立つ。さらに、初期値 θ(a) を指定すれば、この θ は一意的に定まる。
474: 05/31(土)21:32 ID:gxTfMD+Z(2/2) AAS
明らかでないと思えば証明をつける必要がある
475: 06/01(日)06:46 ID:gg+i+nFW(1/2) AAS
有限性定理を消滅定理から導く
476: 06/01(日)07:01 ID:gg+i+nFW(2/2) AAS
消滅定理の証明にはペロン族を用いる
477: 06/01(日)12:46 ID:hQ7BjOn9(1/2) AAS
>>470
すごいですね！
フォルスターの本に比べてドナルドソンのリーマン面で勉強する人は少ない気がします
478: 06/01(日)14:12 ID:U8jfVxM2(1) AAS
小平先生の「複素多様体論」は
リーマン面を既知としていて
すこし不親切な印象
479: 06/01(日)18:23 ID:hQ7BjOn9(2/2) AAS
その本は三連作の最終章では？
480: 06/02(月)08:32 ID:hKVRoYE/(1/2) AAS
リーマン面の基礎理論はどこに書いてありますか
481: 06/02(月)18:47 ID:SmzbD2sQ(1) AAS
ヘルマンワイルさんの古典ではないの
482: 06/02(月)20:17 ID:hKVRoYE/(2/2) AAS
三連作のどこに？
483: 06/04(水)11:55 ID:8zrDp/9i(1) AAS
どこにも
484(2): 06/05(木)05:47 ID:vyLu1hH9(1) AAS
リーマン面論の名著が待たれる
485: 06/05(木)19:29 ID:Mpbxj4IP(1) AAS
>>484
ラーメンマンとかリーマン麺とか導来圏の親父味を感じる。
486: 06/05(木)19:50 ID:SmG16hE5(1) AAS
導来軒のリーマン麺はうまい
カシワ・バラ肉が入ってる
487: 06/07(土)06:52 ID:bc5LwOcV(1) AAS
2歳児にはアンパンマンを
488: 06/09(月)07:01 ID:+VmcCR0T(1) AAS
あんかけラーメンは今一つ
489: 06/09(月)19:16 ID:ISVAs415(1) AAS
案欠けリーマン面
490: 06/09(月)20:47 ID:m284i8pq(1) AAS
>>484
楠幸男先生の解析函数論と厚い方の函数論があります！
491(1): 06/10(火)09:16 ID:XWbbzaA8(1/2) AAS
ここ半世紀の展開を踏まえたリーマン面の
入門書(できれば和書で)が出てほしい
492: 06/10(火)10:22 ID:8jmcgFxy(1/4) AAS
楠幸男という人の本はどういう点で良い本なのでしょうか？
ニッチな分野の本で、他に代わりになる本が少ないから評価されているという類の本でしょうか？
493: 06/10(火)11:08 ID:ujmtP68K(1) AAS
一言でいうなら「端正さ」
494: 06/10(火)12:56 ID:Lh2/nCP4(1) AAS
>>491
ここ半世紀というと、1975年から今までだけど、
リーマン面でそんなにすごい進歩があったっけ？
超弦理論絡みでの発見とか？
495: 06/10(火)13:04 ID:JsW/08Gy(1) AAS
ThurstonとかMcMullenとかタイヒミューラー関係は
大きく発展したろ
496: 06/10(火)14:16 ID:equarQsV(1/14) AAS
Belyi's theoremも外せない
497: 06/10(火)14:30 ID:equarQsV(2/14) AAS
楕円曲面からの展開も
498: 06/10(火)14:32 ID:equarQsV(3/14) AAS
Kazhdan理論も
499: 06/10(火)14:34 ID:equarQsV(4/14) AAS
pseudoholomorphic curveも
500: 06/10(火)14:38 ID:equarQsV(5/14) AAS
有理曲線論で一章が書けるだろう
501: 06/10(火)14:43 ID:equarQsV(6/14) AAS
タイヒミュラー理論と対をなすのが
Narasimhan-Seshadri理論
502: 06/10(火)14:47 ID:equarQsV(7/14) AAS
Donaldson理論へと続く
503: 06/10(火)14:53 ID:equarQsV(8/14) AAS
図書館でDonaldson本を覗いてみよう
504: 06/10(火)15:25 ID:equarQsV(9/14) AAS
書くべきことは書いてあるが
アレンジが今一つか
505(1): 06/10(火)18:05 ID:8jmcgFxy(2/4) AAS
Donaldsonの本は厳密ですか？
偉い数学者だからといって厳密でしっかりとした本を書くとは限らないですよね。
506: 06/10(火)18:24 ID:equarQsV(10/14) AAS
>>505
岩澤本は厳密ですか？
507: 06/10(火)18:30 ID:equarQsV(11/14) AAS
Donaldsonの本は"Deeper theory"の前までは
ごく普通
508: 06/10(火)18:36 ID:8jmcgFxy(3/4) AAS
リーマン面についてはそれが何なのか正確には知りませんが、複素関数論の入門的な本でのリーマン面の説明を見ると、なぜ「リーマン面」という主題で1冊の本が書けるのかと思ってしまいます。
5ページ以内で説明できないのはなぜですか？
509: 06/10(火)18:39 ID:8jmcgFxy(4/4) AAS
複素関数論におけるリーマン面は、微分積分学における実数論みたいなものなのではないんですか?
実数論は厳密にやり抜くのは大変ですが、大変なだけで何も面白いことはありません。
リーマン面の話もそうではないんですか？
510: 06/10(火)18:41 ID:equarQsV(12/14) AAS
及川先生の「リーマン面」を眺めてみれば
その理由がわかるのでは？
511: 06/10(火)18:44 ID:equarQsV(13/14) AAS
リーマン面上ではクザンの問題の解き方が
いろいろあり、それぞれに面白さがある
512: 06/10(火)18:52 ID:equarQsV(14/14) AAS
円錐曲線についてあれだけのページ数が書けるとは
信じがたいと言った超一流の数学者もいた
513: 06/10(火)20:34 ID:fdFhrHAC(1) AAS
まだまだ肥沃な土壌であり続けるリーマン面
514: 06/10(火)22:39 ID:XWbbzaA8(2/2) AAS
関数の母なる大地とはもう言わない
515: 06/11(水)09:43 ID:y9IQzmWr(1) AAS
非ユークリッド幾何とリーマン幾何の
リーマン面論における位置づけについては
再考を要す
516(1): 06/11(水)13:31 ID:upL71tem(1/4) AAS
z_1 : [a, b] → C
z_2 : [c, d] → C
z_1, z_2 連続で単射
z_1([a, b]) = z_2([c, d])
とする。
t ∈ [a, b] に対して、 z_1(t) = z_2(s) とみたす s ∈ [c, d] が一意的に存在する。
写像 φ : t → s は明らかに全単射
省1
517(1): 06/11(水)13:33 ID:upL71tem(2/4) AAS
さらに、 z_1, z_2 は C^1 級で、 z_1(t) ≠ 0 for t ∈ [a, b], z_2(s) ≠ 0 for s ∈ [c, d] とする。
このとき、上の φ は C^1 級で、 φ(t) ≠ 0 for t ∈ [a, b] である。
518: 06/11(水)13:34 ID:upL71tem(3/4) AAS
>>517
訂正します：
さらに、 z_1, z_2 は C^1 級で、 z_1(t) ≠ 0 for t ∈ [a, b], z_2(s) ≠ 0 for s ∈ [c, d] とする。
このとき、上の φ は C^1 級で、 φ'(t) ≠ 0 for t ∈ [a, b] である。
519: 06/11(水)13:36 ID:upL71tem(4/4) AAS
>>516 518
これは小平邦彦著『複素解析』に書いてあることです。
これって基本的で重要なことだと思います。
ですが、複素関数論の本でこのことが書いてある本を他に知りません。
なぜですか？
確かに、直感的に明らかなことですし、証明も簡単です。
ですが、重要なことなので書くべきだと思います。
520: 06/11(水)13:46 ID:eUU/4rc6(1) AAS
線積分の定義と基本的性質を丁寧に書くことは
非常に大切なことです。
521(1): 06/13(金)20:43 ID:nTXpoOkq(1/2) AAS
相変わらずアールフォースを40年ぶりに少しづつ読んでいます。
(今は留数の辺りで悩んでます)
それとは別に40年前に学生ゼミで読んでたアールフォースが押入れから出て来ました。1982年初版第一刷でした。
今読んでるのは2017年第12刷です。
学生の頃はシャープペンシルで本に書き込みをしていますが、
会社員生活を経てシャーペンは全く使わなくなりましたね。
522: 06/13(金)22:55 ID:nTXpoOkq(2/2) AAS
演習問題用に
「一冊でマスター 大学の複素関数」石井俊全
という本も持っているのですが、
この本を読んで学生時代からの謎というか疑問が少しわかった気がするので書いておきます。
関数論の本では「解析接続」とはテーラー展開で領域を広げて、広げた領域でさらにテーラー展開をして領域を広げていく事です。
一方でテーラー展開など使わずに、一致の定理を使って領域を一度に拡張することを解析接続と呼んでいる事もあります。
(ゼータ関数の解説で1+2+3+、、＝-1/12 の算出とかも一致の定理と解析接続として説明されてるようです)
省6
523(1): 06/14(土)07:57 ID:1N45xtNI(1) AAS
>>521
すごい押入れですね！
524: 06/14(土)08:33 ID:+6jaaRtl(1/2) AAS
テーラー展開による解析接続は
リーマン面上の一価函数になる
そのリーマン面にさらに分岐点を付け加えて
できるリーマン面へと
関数を正則拡張することができることもある
525: 06/14(土)12:05 ID:IMrKek3I(1) AAS
任意の開リーマン面は
C上の不分岐正則領域
526(1): 06/14(土)14:22 ID:JGsWYsxN(1) AAS
>>523
押入れと言うより正確には、
大学を卒業したときのあれやこれやをまとめて段ボールに積め込んで押入れの奥に入れてあった。
大学の卒業証書とかも同じ段ボール箱に入ってた。
527: 06/14(土)22:41 ID:+6jaaRtl(2/2) AAS
囲碁や将棋の免状だと
関所で通行手形代わりに使えたらしい
528: 06/15(日)06:02 ID:LXFVxBju(1) AAS
Ahlforsはフィールズ賞のメダルを
パスポート代わりに使って米国に移住できた
529: 06/15(日)21:33 ID:FkvtyITf(1) AAS
>>526
タイムカプセルですね！
段ボールってそんなに長持ちするんだ
530: 06/16(月)09:06 ID:rbeJ8doG(1) AAS
本が長持ちすることも不思議と言えば不思議
531: 06/16(月)13:05 ID:S07BzJhO(1) AAS
５ちゃんはどれだけ持つだろうか
532: 06/16(月)14:58 ID:avbu64uy(1) AAS
40年経っても枯れない数学への情熱に驚きました
これもタイムカプセル？
533: 06/17(火)06:24 ID:AiDc4ZSY(1/3) AAS
数学の魅力とはそういうもの
534: 06/17(火)10:02 ID:AiDc4ZSY(2/3) AAS
卒業記念のタイムカプセルに
数学書を入れた例はあるだろうか
535: 06/17(火)13:37 ID:/V+OF6f/(1) AAS
入れたいようなもったいないような…
536: 06/17(火)22:49 ID:AiDc4ZSY(3/3) AAS
４０年はちょっと長い
537: 06/19(木)09:59 ID:b5gxmwX7(1) AAS
梶原先生は数学人生を完全燃焼できたのでしょうか？
合掌
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