なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)
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754: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/20(金) 17:44:56.93 ID:PNnfE6fl

>>743 補足

１）自然数の構成は、下記な
　標準的：ノイマン構成 で
　なお、非常に単純な自然数 suc(a) := {a} ：これは ツェルメロによる定義（単純すぎて基数と合わないよという批判があったらしい）
　ここらは、基礎論で地下部分の数学です
２）この後、整数の構成（下記）
　有理数の構成、実数・・・ など
　とすすむ（下記 尾畑研究室 東北大などご参照）
　もうここらからは、地上の数学の世界と考えた方が良いだろうｗ ；ｐ）

これが、>>1に対する一つの答えでもある

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
自然数
形式的な定義
自然数の公理
→「ペアノの公理」も参照

集合論において標準的となっている自然数の構成は以下の通りである。
任意の集合 a の後者は a と {a} の合併集合として定義される。
suc(a) := a ∪ {a}
略す
無限集合の公理により集合 M が存在することが分かり、このように定義された集合がペアノの公理を満たすことが示される。 このとき、それぞれの自然数は、その数より小さい自然数全てを要素とする数の集合、となる。

0 := {}
1 := suc(0) = {0} = {{}}
2 := suc(1) = {0, 1} = {0, {0}} = { {}, {{}} }
3 := suc(2) = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} = { {}, {{}}, { {}, {{}} } }
等々である[3]。

このように定義された集合 n は丁度（通常の意味で）n 個の元を含むことになる。また、これは有限順序数の構成であり、（通常の意味で）n ≤ m が成り立つことと n が m の部分集合であることは同値である。

以上の構成は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。

例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0
整数
厳密な構成
まず、直積集合 N2 = N × N = {(a, b) | a, b は自然数} [note 3]

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室−システム情報数理学II研究室−
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_16.pdf
第16章整数・有理数・実数

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/754

758: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/20(金) 20:50:32.19 ID:pVTpIVEJ

>>754 追加
いつもお世話になっております 東北大 尾畑研
下記、結構ちゃんと書かれている

(参考)
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室−システム情報数理学II研究室−
www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_03.pdf
TAIKEI-BOOK : 2019/1/1(22:21)
第3章 集合の演算
P45
3.3集合の公理
ラッセルのパラドックスなどを解消する努力の中で一群の公理系から出発する公理的集合論が構築されてきた
公理系の設定の仕方は何通りかあるが以下ではZFC公理系を紹介しながら
集合にどのような性質が期待されて
それがどのように表現されるかを見ておこう
公理的集合論では対象とする「もの」はすべて集合であり現れる文字A,B,・・、a,b,・・はすべて集合と理解する
そして集合間の関係として等式A=Bと帰属関係A∈Bだけから理論を構築する
したがって集合の元も集合であると認識しなければならない

P48
(S9)基礎の公理
略す
補題3.14 x∈yとy∈xを同時に満たすx,y集合は存在しない
証明
略す
定理3.15 集合x,yに対して次が成り立つ
(1)x∈xを満たす集合は存在しない
(2)のx∈y,x=y,y∈xうち高々1つだけ成り立つ
(3){x}⊂xを満たす集合は存在しない
　したがって x＝{x}を満たす集合も存在しない
証明
略す

www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_14.pdf
TAIKEI-BOOK :2019/1/1(22:21)
第14章順序数
P208
14.3順序数の定義

■順序数の定義
次の条件を満たす集合αを順序数という
(i)αは推移的である
(ii)αは帰属関係∈に関して整列集合である

条件(ii)が簡潔過ぎて少しわかりにくい
まず帰属関係と呼ばれる2項関係∈が集合α上に等号なしの順序関係を与え
それが全順序になることが要請されている
つまり、x,y,z∈αに対して推移律
x∈y,y∈z→x∈z
が成り立ち
さらに任意のx,y∈αは比較可能
x∈y,x=y,y∈x
つまりのいずれか1つが成り立つ
さらに全順序集合(α,∈)が整列集合になるというのが条件(ii)の内容である5)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/758

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