なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)
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624: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/16(月) 17:54:32.46 ID:24IgbVxn

>>617
>いかなる集合も、そこから要素を取り出し、
>さらにその要素たる集合から要素を取り出し、
>・・・という行為を繰り返すと
>有限回で空集合に行きつく
>というのが∈-induction
>>618
>自然数の全体集合Nは無限集合だが、どの要素をとってきても、
>その中からさらに要素をとり・・・という操作を続けると有限回で空集合に行きつく
>いかなる順序数についても、上記の性質は同様に成り立つ
>非可算だろうがなんだろうが変わらない

なんか、君達 大雑把すぎない？
その陳述は・・・ ｗｗｗ
下記を、百回音読してね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95
超限帰納法（英: Transfinite induction）は、数学的帰納法の整列集合上への拡張である、例えば順序数や基数の集合の上で行う。この手法の正当性はZFCの定理である。[1]
各ケースにおける帰納法
性質
P(α) が全ての順序数
αに定義されているとする。全ての
β<α に対して
P(β) が正しいと仮定した上で、そして
P(α)も正しいことを示す。[2] このとき超限帰納法は全ての順序数に対して
P が真であることを結論する。

通常、超限帰納法による証明は次の3ケースに分解される:
・基本ケース: P(0) が真であることを証明する。
・後続者ケース: 全ての後続順序数 α+1 に対して、P(α+1)を P(α)から証明する。
　(必要ならば全ての β<α に対しての P(β) を仮定してもよい。)
・極限ケース: 全ての極限順序数 λに対して、P(λ) であることを
　P(β)（全ての β<λ について）から証明する。
この3つのケースは、考慮する順序数の種類を除けば全て同じである。これらは形式的には別々に考える必要はないが、実際には証明は別個に行う必要があるほど異なるのが普通である。
0は極限順序数と見なされることがあり、極限順序数と同じケースとして証明で扱われることがある。

選択公理との関係
帰納法や再帰を用いた証明や構成では、しばしば選択公理を用いて、超限帰納法で扱えるような整列された関係を作り出す。
しかし、問題にしている関係がすでに整列されている場合は、選択公理を用いずに超限帰納法を用いることができる。[4]

関連項目
・数学的帰納法
・∈-induction

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/624

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