なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

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98: １３２人目の素数さん [] 2024/11/20(水) 11:06:31.36 ID:dQKCe6W8

>>1
>なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？
>公理まで遡ってすべての定義・命題を厳密に記述・証明しなければ、正しいとは言えないはず
>もし、公理まで遡る途中の定義・命題を認めても問題なく数学が出来るなら、それを公理とすればいいのでは？

・逆数学：通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である
・構成的解析：Constructive analysis

下記を
貼っておきます

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%86%E6%95%B0%E5%AD%A6
逆数学
逆数学（ぎゃくすうがく）とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。

逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析学の結果を反映している。

逆数学は、Harvey Friedman (1975, 1976)によってはじめて言及された。基本文献は(Simpson 2009)を参照。

en.wikipedia.org/wiki/Constructive_analysis
Constructive analysis
In mathematics, constructive analysis is mathematical analysis done according to some principles of constructive mathematics.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/98

108: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/11/20(水) 17:20:32.57 ID:dQKCe6W8

>>107
>>『なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？』
>　置換公理を使わなくても、分出公理で十分だから

なんか、ハナクソみたいなこと言ってない？ｗ ；ｐ）
下記のZF集合論の歴史
『1922年、フレンケルとスコーレムは、原子論理式を帰属関係と同一性の表現に限定した一階述語論理における論理式として定式化できるものとして、「明確な」属性を操作することをそれぞれ独立に提案した。彼らはまた、分出公理を置換公理に置き換えることを独立に提案した。これらの公理と（フォン・ノイマンによって最初に提案された）正則性公理[3]をツェルメロ集合論に追加すると、 ZFで表される公理系が得られる』
なんか、ハナクソみたいなこと言ってない？

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%A1%E3%83%AD%EF%BC%9D%E3%83%95%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%B1%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
ツェルメロ＝フレンケル集合論とは、ラッセルのパラドックスなどのパラドックスのない集合論を定式化するために20世紀初頭に提案された公理系である。名前は数学者のツェルメロとフレンケルにちなむ。歴史的に議論を呼んだ選択公理(AC)を含むツェルメロ＝フレンケル集合論は公理的集合論の標準形式であり、今日では最も一般的な数学の基礎となっている。選択公理を含むツェルメロ＝フレンケル集合論はZFCと略される。Cは選択(Choice)公理を、 ZFは選択公理を除いたツェルメロ＝フレンケル集合論の公理を表す
歴史
集合論の現代的な研究は、1870年代にカントールとデーデキントによって始められた。しかし、ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論におけるパラドックスが発見され、これらのパラドックスのない、より厳密な形式の集合論の探求につながった
1908年、ツェルメロは最初の公理的集合論であるツェルメロ集合論を提案した。しかし、1921年にフレンケルがツェルメロに宛てた手紙で最初に指摘したように、当時ほとんどの集合論の数学者が当然と考えていた基数
略
の存在を、この理論では証明できなかった
1922年、フレンケルとスコーレムは、原子論理式を帰属関係と同一性の表現に限定した一階述語論理における論理式として定式化できるものとして、「明確な」属性を操作することをそれぞれ独立に提案した。彼らはまた、分出公理を置換公理に置き換えることを独立に提案した。これらの公理と（フォン・ノイマンによって最初に提案された）正則性公理[3]をツェルメロ集合論に追加すると、ZFで表される公理系が得られる。選択公理（AC）またはそれと等価な命題をZFに追加すると、ZFCが導かれる

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E5%87%BA%E5%85%AC%E7%90%86
分出公理
主な公理的集合論の多くにおいて、分出公理とは、公理図式の一つである。本質的に、どの集合の定義可能な部分クラスも集合であることを主張する
分出公理を内包公理と呼ぶ数学者もいるが、後述のように無制限の内包と呼ぶ者もいる。
制限された内包公理はラッセルのパラドックスを回避できるため、ツェルメロ、フレンケル、ゲーデルといった数学者は、集合論の最重要な公理と考えた
置換公理との関係
分出公理はほとんど置換公理から導出することが可能である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731415731/108

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