なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？

[過去ﾛｸﾞ] なぜ、ZFC公理まで遡らなくても数学が出来るの？ (1002ﾚｽ)
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585: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)08:18 ID:24IgbVxn(1/20) AAS
>>53より再録
>結論：「人の思考は、一階述語論理に限られない！」ｗ；ｐ）

・人には、明日のことは分らない。神のみぞ知る
　が明日のことを考えない人は、人生の落伍者になる
・明日のことは、一階述語論理だけでは扱えない
　だから、人の思考形態は、一階述語論理に縛られない

そこを勘違いしている人がいる
省25

586: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)08:18 ID:24IgbVxn(2/20) AAS
つづき

多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは，ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
省18

593(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)09:51 ID:24IgbVxn(3/20) AAS
>>581 >>584

www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichiroh/2023/07/31/tips-of-set-theory.html
松尾信一郎
名古屋大学大学院多元数理科学研究科准教授

集合論の覚書
基礎と基礎付け
「ZFCと一階述語論理が数学の基礎だ」という言い方がしばしばなされるが，「ZFCと一階述語論理で数学は基礎付けられる」と言った方が誤解も反発も招かないだろう．
省28

595(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)10:17 ID:24IgbVxn(4/20) AAS
>>584
正則性公理を、なんか勘違いしていると思う
下記を、百回音読してね

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理（せいそくせいこうり、英: axiom of regularity）は、別名「基礎の公理」（きそのこうり、英: axiom of foundation）とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。

定義
省17

596: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)10:26 ID:24IgbVxn(5/20) AAS
>>594
>実数の定義を知らなくてもいいとかいうのは噴飯物

実数の定義はZFC以前
検索：実数の定義カントールデデキント
で
下記などヒット。百回音読してねｗ

(参考)
省17

601(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)14:19 ID:24IgbVxn(6/20) AAS
>>598
>でも君、デデキントの切断による定義も、カントールの基本数列による定義も、理解できてないんだろ？

ふっふ、ほっほ
数学底辺ほど、自分より下を探して、エスパーになった気で
「お前は分ってない」というｗ；ｐ）

・デデキントの切断は、中学の数学教師が脱線で話した。当時、デデキント「数とは何であり何であるべきか」の訳本が出たらしい
　勿論、右の(ちくま学芸文庫)本では無かったのだが www.chikumashobo.co.jp/product/9784480095473/
省31

602: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)14:20 ID:24IgbVxn(7/20) AAS
つづき

実数
Wikipedia
a.wikipedia.org › wiki › 実数
実数の構成は有理数の空間 Q の完備化とよばれる手続きによる方法が一般的である。有理数の空間には二つの数の差の絶対値として定義される距離 d(a, b) = |a − b| から ...

実数の構成について
学校法人学習院 2011年田崎晴明
省21

608(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)15:41 ID:24IgbVxn(8/20) AAS
　>>593より再録
www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichiroh/2023/07/31/tips-of-set-theory.html
松尾信一郎
名古屋大学大学院多元数理科学研究科准教授

集合論の覚書
基礎と基礎付け
「ZFCと一階述語論理が数学の基礎だ」という言い方がしばしばなされるが，「ZFCと一階述語論理で数学は基礎付けられる」と言った方が誤解も反発も招かないだろう．
省9

611(8): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)16:27 ID:24IgbVxn(9/20) AAS
>>604
>　証明は有限回の推論規則の適用であって、
>　もちろん無限回の適用などできっこない
>　一方で仮設としての無限集合やら諸公理やらはあってもよい
>　それらが矛盾をもたらさない保証はないが
>　矛盾したらしたでそのとき考えればいい

大分分ってきたね
省22

612(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)16:28 ID:24IgbVxn(10/20) AAS
つづき

en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
google訳
この公理はフォン・ノイマン (1925)の貢献によるもので、ツェルメロ (1930)によって当時の教科書に見られるものに近い定式化で採用された。集合論に基づく数学の分野における事実上すべての結果は、正則性がなくても成り立つ。クネン (1980)の第 3 章を参照。しかし、正則性により順序数のいくつかの特性が証明しやすくなる。また、正則性により、整列した集合だけでなく、辞書式順序などの整列した関係構造である適切なクラスに対しても帰納法を行うことができる。
{(n,α)｜n∈ω∧α is an ordinal }
ツェルメロ-フランケル集合論の他の公理を考えると、正則性公理は帰納法公理と同等である。
省16

620: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)17:11 ID:24IgbVxn(11/20) AAS
>>609-610
>そもそも1のような問いを発するのもこれを真に受けるのも
>数学を全く知らぬ数学童貞

ふっふ、ほっほ
1）ＮＨＫ子ども科学電話相談というのがありまして
　たまにカーラジオで聞いているが
　多くは小学生の素朴な質問に、大学教授レベルの専門家が、真面目に答える番組でね
省25

621: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)17:29 ID:24IgbVxn(12/20) AAS
>>615
(引用開始)
>現代数学を語る言葉は、証明も含めて有限でなければならない。
>有限でなければ、人は書けないし読む人もいない
　いまさらこんな自明なことドヤ顔でいう時点で数学童貞
>しかしながら、現代数学はしばしば、無限集合を扱う必要がある
>可算無限集合であったり、非可算無限集合であったりする
省11

622(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)17:38 ID:24IgbVxn(13/20) AAS
>>616
>なっ、目糞鼻糞だろ

これは、弥勒菩薩さまか
混ぜっ返し
ありがとうございます（＾＾

624(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)17:54 ID:24IgbVxn(14/20) AAS
>>617
>いかなる集合も、そこから要素を取り出し、
>さらにその要素たる集合から要素を取り出し、
>・・・という行為を繰り返すと
>有限回で空集合に行きつく
>というのが∈-induction
>>618
省32

628(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)18:15 ID:24IgbVxn(15/20) AAS
>>612
(引用開始)
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
In set theory, ∈-induction, also called epsilon-induction or set-induction, is a principle that can be used to prove that all sets satisfy a given property. Considered as an axiomatic principle, it is called the axiom schema of set induction.

Comparison of epsilon and natural number induction
There, the binary membership relation "∈" of set theory exactly models the strict ordering of natural numbers "<".
省10

632(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)18:55 ID:24IgbVxn(16/20) AAS
>>625
>以下の式が理解できないの？
>∀x.((∀(y∈x).ψ(y))→ψ(x))→∀z.ψ(z)

ご苦労さまです
それ解説ついているでしょ？（下記）
　>>612より
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
省19

634: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)20:00 ID:24IgbVxn(17/20) AAS
>>628
(引用開始)
2）"<"は、”≦”とは異なる等号”＝”を含まないということ
　つまり、"∈" についても等号”＝”を含まないということ
3）"∈" について等号”＝”を含まないゆえ
　”x∈x”は許さないのです
こうすることで、 ∈-induction（Epsilon-induction）が
省17

635(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)20:11 ID:24IgbVxn(18/20) AAS
>>633
>>それ解説ついているでしょ？
>私に指摘されて初めて英語読んだでしょ？
>大学数学で挫折した高卒童貞君

いや、チラ見してスルーしてた
　>>632の箇所は
Epsilon-induction に特有ではなく
省5

636(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)20:19 ID:24IgbVxn(19/20) AAS
>>635 関連

下記モストフスキ崩壊補題は、何年も前に
渕野先生のPDFで教えて貰った
基礎論必修事項ですね

(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
モストフスキ崩壊補題
省15

637(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/16(月)22:34 ID:24IgbVxn(20/20) AAS
>>613
(引用開始)
代数にしても位相にしても集合を全く使わずして語ることなど無理だし無意味
剰余類、共役類、開集合、閉集合、近傍・・・
こういう言葉を理解もせず使用もしないなど未開の部落民といってよい
(引用終り)

いやいや
省39

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