背理法と対偶って違うの？

背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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77: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 09:47:46.38 ID:9Sqq12HI

>>66 タイポ訂正

背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
　↓
背理法は、
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」です

さて
>>76 つづき

数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
（当時の）数研出版の｢数学I」の教科書で
対偶については，186頁に
１命題の真偽は，その対偶の真偽と一致する．
２命題 p→qが真であることを示すために，
　その対偶q^- → p^-が真であることを示し
　てもよい．
と書いています．
（注： p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様）
(引用終り)

つまり
1）命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
　対偶 q^- → p^-  ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
　と教えている
2）そう教えるならば、その流れで
　背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
　とするべき
　「証明すべき結論(上記のq)を否定して論理を進めていき」とするのが正
　「ある事柄を証明するのに，まず その事柄が成り立たないと仮定して」は誤
　”その事柄が成り立たない”などと、あいまい表現がよくない
　”命題 p→q ”としたら、命題の否定とは 結論qの否定とすべき

さて、√2が無理数であることの証明の背理法の構造
命題 p→q に当て嵌めすると
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数

さて、愚直に p→q を考えるとすると
簡単にいえば
これは、pから出発して 三段論法で ギャップなく qに到達すること
しかし、”q：√2 は、無理数”が曖昧だ。そこで 背理法の出番になる

分かり易く 背理法の前に、対偶法を考えよう
q^- ：x=√2 は 有理数
p^-：x^2=2 以外の (正の)実数
と書ける
ここで、”x^2=2 以外の (正の)実数”が数学的には使いづらいので
対偶 q^- → p^-
の背理法で
q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）

つまり、”x^2=2 以外の (正の)実数” よりも ”√2は、x^2=2となる (正の)実数”
が、圧倒的に使いやすい

そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
から、x=a/b (既約分数)とおけて
あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
背理法証明の完成です

”あり得ない”が、集合で空集合Φ に対応している

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/77

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