背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
上下前次1-新
ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡
1(3): 2024/11/07(木)20:43 ID:sBZeRZGB(1) AAS
同じじゃないの？
37: 2024/11/11(月)08:10 ID:xGTnxzX9(2/2) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9%E8%AB%96%E7%90%86
直観主義論理（英: intuitionistic logic）または直観論理（ちょっかんろんり）、あるいは構成的論理（こうせいてきろんり、英: constructive logic）とは、ある種の論理体系であり、伝統的な真理値の概念が構成的証明の概念に置き換わっている点で古典論理とは異なる。例えば古典論理では、全ての論理式に真か偽の真理値 ( {⊤,⊥}) が割り当てられる。このときその真理値に対する直接的なエビデンスを持つか否かは問題にしない。これはどのような曖昧な命題においても「真か偽かが決定可能である」ということを意味する。対照的に、直観主義論理では確定的に論理式に真理値を割り当てるのではなく、それが真であるとは「直接的なエビデンス」つまり「証明」があることと見做す。
証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない。
直観主義論理の色々な意味論が研究されている。ひとつの意味論は古典的なブール代数値意味論を写しとったものでブール代数の代わりにハイティング代数を用いる。別の意味論ではクリプキ・モデルを用いる。
(引用終り)
以上
38: 2024/11/13(水)12:07 ID:0yIDnyuw(1/3) AAS
直観主義論理と背理法
下記が分かり易い
mathlog.info/articles/3000
E 自己紹介・記録 2022年2月15日
私が直観主義論理を擁立するたった1つの理由
本題に入る前に
最初に明確にしておきたいのですが、私は古典論理における背理法や排中律の正しさを疑っているわけでは全くありません。
省14
39: 2024/11/13(水)12:08 ID:0yIDnyuw(2/3) AAS
下記は、かなり荒っぽい説明ですが
ゆえに分かり易い説明で、参考になります
『集合論のパラドックスです。例えばXを自分自身を元として含まない集合の集合としましょう。さてX∈Xでしょうか。X∈XとするとXの定義からXの元ではありません。一方X∈Xではないとすると、X∈Xのはずです。いずれにしても矛盾が導かれます。』
これに対する直観主義（構成主義）は
『排中律（任意の命題Pについて「PであるかPでないかどちらかである」とする主張)を否定する』です
note.com/yoriyuki/n/n456e260e4b1f
数学基礎論論争は結局どうなったか 筆の滑り 2020年5月17日
省18
40: 2024/11/13(水)12:09 ID:0yIDnyuw(3/3) AAS
つづき
直観主義（構成主義）
直観主義数学とは、オランダの数学者ブラウアー(1881-1966)によって提唱された立場です。直観主義数学は排中律（任意の命題Pについて「PであるかPでないかどちらかである」とする主張)を否定する数学と紹介されることがありますが、排中律を否定するのはその主張の一部であって、他の古典数学の主張も否定されたり、古典数学とは相容れない独自の主張がなされることもあります。また、気まぐれに排中律を否定しているわけではなく、その背景には理由付けが存在します。
直観主義数学は大雑把に言って「具体的に操作可能なもの」だけが数学の対象だと考えます。そして、何かが存在すると主張することはそれを「構成」することだと考えます。また、「証明」自体も数学の対象です。ただし、数学の証明とは形式論理の推論の並びではなく、ある数学的命題の正しさを「構成」する「直観」です。
略
新しい数学の基礎として注目されているホモトピー型理論は直観主義型理論にUnivalent axiomという公理を追加したものになっています。また、古典的な数学をある程度直観主義の数学で解釈することが可能です。なので真っ向から対立するものだ、と考える必要はないことを付け加えておきます。
その後どうなったか
省3
41(1): poem 2024/11/24(日)21:41 ID:PZ7vprbN(1) AAS
広告
2chｽﾚ:math
42: 2024/11/25(月)07:53 ID:PVFg9nt/(1) AAS
ご苦労さまですｗ
43(1): poem 2024/11/25(月)10:09 ID:fV5e82dk(1/5) AAS
>>45 おちんちんおまんまんスレのスレ建てもちょくちょくご苦労様です楽しみに待ってますゞ
44(1): poem 2024/11/25(月)10:10 ID:fV5e82dk(2/5) AAS
あれ？別人？
リンクご苦労様ですだから
本人かと思ったけど
45(2): poem 2024/11/25(月)10:11 ID:fV5e82dk(3/5) AAS
本人的リンクご苦労様ですの意味じゃなかったか
誤解したぜ
別人的何をご苦労様ですだったんだろ？
46(1): poem 2024/11/25(月)10:14 ID:fV5e82dk(4/5) AAS
喩えられるなら小指ぶつけてしまったぜをこんな状況の慣用句にできないか
47(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/25(月)11:23 ID:w3pBj7Ni(1) AAS
>>43-46
42で、11や40など、長文貼付けは 殆ど私です
で、>>41で沈んでいた （sageで、書いていたので）
のを age てくれたことの ”ご苦労さま”です
簡単ですが、説明以上です （＾＾
48: poem 2024/11/25(月)12:58 ID:fV5e82dk(5/5) AAS
>>47 分かり易かったYO！
49: 2024/11/28(木)15:44 ID:XCAq3thN(1/8) AAS
メモ
<chiebukuro.yahoo>背理法
（なお az1********さんにほぼ賛成。hat********さんの 回答は首肯できる部分は多いが 同意できない箇所も多くある。）
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14224170274
質問
jcg********さん 2020/5/2
対偶を用いた証明と背理法は本質的に同じものなのに、高校数学ではなぜこれらを区別して教えるのでしょうか。
省28
50: 2024/11/28(木)15:44 ID:XCAq3thN(2/8) AAS
つづき
論理の体系について簡単に説明します。
・命題A,B,C,…という概念があります。
高校数学や大学の初等数学では「命題：真偽がはっきりしているもの」と教わりますが、この定義は不満足です。命題とは何かをまだ定義していないのに、真偽とは何かを定義できるはずがないからです。
難しい話は避けますが、ここでは「命題：数学記号や日本語が正しい文法で書かれていて、
自己言及（「この文章は偽です」など）といったやっかいな問題をはらんでいない文章」としましょう。
・論理記号として、⇒、⇔、∧、∨の記号が定義されており、
省31
51: 2024/11/28(木)15:45 ID:XCAq3thN(3/8) AAS
つづき
対偶について説明します。
略す
2種類ある「背理法」とはなんぞや、について説明します。
「A⇒⊥である。よって¬Aが成り立つ」これは「否定導入」または「狭義の背理法」といい、どちらの論理体系でも使えるのでした。
一方で、
「¬A⇒⊥である。よってAが成り立つ」これはどうでしょう？
省20
52: 2024/11/28(木)15:56 ID:XCAq3thN(4/8) AAS
メモ 追加
<chiebukuro.yahoo>背理法
（ ベストアンサー 数ちゃんさん 分かり易い）
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14241558964
1149769776さん
2021/4/10
背理法は「正しい」と言えるのか？
省25
53: 2024/11/28(木)16:46 ID:XCAq3thN(5/8) AAS
追加
・ラッセルのパラドックス＝数学の危機
・ラッセルのパラドックスとは、簡単に言えば”（このカッコに書いてある文はウソです）”というような
自己言及で、自己否定をいう文です。
それを、集合論で 「それ自身を要素として含まない集合」を 作ると矛盾（下記）
・ラッセルのパラドックスから、数学の危機が認識され、当時の数学者たちが努力した
大きく３つの解決法が提案された
省28
54: 2024/11/28(木)16:47 ID:XCAq3thN(6/8) AAS
つづき
www.jstage.jst.go.jp/article/kisoron1954/28/2/28_2_55/_pdf
科学基礎論研究 2001
数学の回顧と展望
竹内外史*
P2
ラッセル(B. Russell)はカントールの集合についての
省24
55: 2024/11/28(木)16:47 ID:XCAq3thN(7/8) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6)
直観主義 (数学の哲学)
en.wikipedia.org/wiki/Intuitionism
Intuitionism (直観主義)
(google訳)
歴史
省11
56: 2024/11/28(木)16:52 ID:XCAq3thN(8/8) AAS
(参考)追加
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E8%AB%96%E7%90%86
量子論理
量子論理（りょうしろんり、quantum logic）とは、量子論において見られる現象と相似するような形式論理の体系で、分配律が成り立たない無限多値の論理である[1]。ギャレット・バーコフとジョン・フォン・ノイマンの1936年の論文[2]に始まり、1960年代に直交モジュラー束（orthomodular lattice）の研究と並行して多くの研究成果が出された[3]。
概要
フォン・ノイマンの『量子力学の数学的基礎』により、量子力学のいわゆる「波束の収縮」は、可分複素ヒルベルト空間の線形部分空間への射影と形式化された。そこで、論理における命題を量子力学における観測に対応させる、すなわち、命題を射影と同一視することを考えてみる。
古典力学では、観測可能な物理量は状態の関数であり、状態により一意的に決まる。しかし量子力学では、物理量（オブザーバブル）の決定には相互作用が必ずともなう。特に不確定性原理によりトレードオフの関係にあるものがあり、これは論理において古典論理の一部の法則に従わないものとなることを意味する。
省2
57(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/29(金)14:57 ID:v+dxUrg+(1) AAS
追加参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
古典論理（こてんろんり、英: classical logic）は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理（英: standard logic）とも呼ばれる[1][2]。
特徴
以下に示す性質が特徴である:[3]
1.排中律の採用及び、二重否定の除去;
2.無矛盾律と、矛盾からはいかなることも導ける（en:Principle of explosion）とすること（矛盾許容論理も参照）;
省15
58(1): 2024/11/29(金)16:21 ID:GqMQyJPE(1/4) AAS
「p is true ⇒ ¬p is true」⇒ 「¬p is true」
は、背理法で
この対偶はどうなるのか、後で考えてみよーっと
考えて分かったら、その成果を、無限日未満に
書込んであげる。
59: 58 2024/11/29(金)16:28 ID:GqMQyJPE(2/4) AAS
>>58 自分に話しかける編
trueって四文字もあって、長文になって、複雑すぎ
trueの代替えなら、大文字T で決まりだね。by もう1人の自分
そっかT でいいね。by 58
60: 2024/11/29(金)16:30 ID:L9LIUdNp(1) AAS
はいりはいりはりほー
61: 2024/11/29(金)17:21 ID:yDJAgAYM(1) AAS
>>57 大学数学で落ちこぼれた●●がドヤ顔で論理の上っ面ばかりなでまくる
62: 58 59 2024/11/29(金)19:11 ID:GqMQyJPE(3/4) AAS
あっそうだ、自分の書込みを、みてたら、
ちょっと閃いた。なにかって
大文字T これはtrueの意味。さて、
Tを、逆さにすると⊥だよな。
確か、⊥は、垂直って意味もあるけど
でも、⊥は、矛盾って意で使う地球人がいると思われます
そ、⊥とは、p∧¬p の意なのです。
省7
63(1): 62 自画自賛 2024/11/29(金)19:19 ID:GqMQyJPE(4/4) AAS
62 なんて素晴らしい作文なのだ。
「すべての矛を突き破ぶれない盾」でも
矛を盾へ、垂直に突き刺せは、突き破れると思いますが、
何を言いたいというと、矛盾とは垂直という意味なんですよーーー
まだ、地球人は矛盾と垂直が同値であることは、知らないと思われるけど
⊥の記号を見れば、⊥という文字を発明したウチュ〰人が
とにかーーーく、地球人に矛盾とは垂直だということを
省2
64(1): 2024/11/29(金)20:15 ID:2grucmQc(1/5) AAS
>>63
ご苦労さまです
背理法とベン図の関係
下記のchiebukuro.yahooのベストアンサーの図が秀逸ですよ （＾＾
(参考)
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1399736633
chiebukuro.yahoo
省10
65(2): 2024/11/29(金)20:19 ID:2grucmQc(2/5) AAS
つづき
例えばpを4の倍数qを2の倍数としてみましょうか。
図1と同じベン図になるのことが分かりますね。
では背理法で行う「 p かつ (qでない) 」ことを仮定して、否定するというのはベン図で言うとどういうことか？
「 p かつ (qでない) 」は図2の斜線部分に相当します。
本当は図1のようにPは全てＱのなかにすっぽり入っていて欲しいのです。
ここで、ＰのくせにＱからはみ出している奴ら「 p かつ (qでない) 」を仮定してこいつらについて考えます。
省5
66(2): 2024/11/29(金)21:39 ID:2grucmQc(3/5) AAS
>>65 追加
図1、2の画像URL
外部ﾘﾝｸ:chie-
pctr.c.yi
mg.jp/dk/iwiz-chie/ans-235148351?w=200&h=200&up=0
67(2): 2024/11/29(金)23:11 ID:2grucmQc(4/5) AAS
>>64-66 補足
古典論理を、簡便に
ベン図や 下記 ド・モルガンの法則が成り立つ世界とします
P→Q は、ベン図で P ⊂ Q
背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
・ベン図では、Qの補集合をQ^cと書くと 「P∩Q^c＝Φ（空集合）」ということです
省23
68(1): 2024/11/29(金)23:44 ID:2grucmQc(5/5) AAS
>>67 追加
（下記 背理法と対偶法の違いが分りやすい、というか 高校教科書では両者の区別をあいまいにしているものがあるらしい）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.chart.co.jp
数研出版
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
69(1): 2024/11/30(土)08:00 ID:C4igDd/w(1/5) AAS
AA省
70(1): 2024/11/30(土)08:04 ID:C4igDd/w(2/5) AAS
数式もコピペできないなら、コピペすんなよ
命題論理における法則
任意の命題 P,Q∈{⊥,⊤}（PとQは真または偽のいずれか） に対して
¬(P∨Q)=¬P∧¬Q
¬(P∧Q)=¬P∨¬Q
が成り立つ。これをド・モルガンの法則という。
71(1): 2024/11/30(土)08:07 ID:C4igDd/w(3/5) AAS
述語論理における法則
D を空でない任意の対象領域とする。
任意の 1 変数の述語 F:D→{⊥,⊤} に対して
¬∀xF(x)=∃x¬F(x)
¬∃xF(x)=∀x¬F(x)
が成り立つ。これをド・モルガンの法則という。
72(1): 2024/11/30(土)08:14 ID:C4igDd/w(4/5) AAS
直観主義論理における法則
直観主義論理においてはド・モルガンの法則は必ずしも成り立たない。
しかし、直観主義論理においても以下は証明可能である。
¬(A∨B)⇔¬A∧¬B
¬A∨¬B⇒¬(A∧B)
¬∃xF(x)⇔∀x¬F(x)
∃x¬F(x)⇒¬∀xF(x)
省3
73(1): 2024/11/30(土)08:16 ID:C4igDd/w(5/5) AAS
集合論における法則
一般的な集合の代数学では、
(P∪Q)¯=P¯∩Q¯
(P∩Q)¯=P¯∪Q¯
となる
（ただし、￣は全体集合に対する補集合を表している）。
こんなん簡単にコピペできんじゃん
省2
74(1): 2024/11/30(土)08:21 ID:9Sqq12HI(1/6) AAS
>>68 追加
www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/stusin_backnum.html
数研出版
数研通信（1号〜50号） 【教授用資料】
3号
背理法の定義について（塩見浩三）見る[102KB]
ですが、発行年が不明
省10
75: 2024/11/30(土)08:24 ID:9Sqq12HI(2/6) AAS
>>69-73
ご苦労さまですｗ
76(2): 2024/11/30(土)08:44 ID:9Sqq12HI(3/6) AAS
>>74 追加
数研出版
数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
(引用開始)
数研出版の｢数学I」の教科書では106頁に，√2
省47
77(3): 2024/11/30(土)09:47 ID:9Sqq12HI(4/6) AAS
>>66 タイポ訂正
背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
↓
背理法は、
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」です
さて
省49
78: 2024/11/30(土)10:08 ID:9Sqq12HI(5/6) AAS
>>77 つづき
√2が無理数であることの証明の背理法の構造
を分析してみよう
命題 p→q
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数
ここで、q：x=√2 は 無理数 が、使いづらい
省25
79(1): [これが一番解りやすい！] 2024/11/30(土)13:57 ID:GBhChuEm(1) AAS
背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
・ベン図では、Qの補集合をQ^cと書くと 「P∩Q^c＝Φ（空集合）」ということです
因みに、P→Qの対偶は
・命題の論理で 「Qの否定→Pの否定」です
・ベン図では、「P^c ⊃ Q^c」（”P ⊂ Q”の ド・モルガンの法則）ということです
80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/11/30(土)14:08 ID:9Sqq12HI(6/6) AAS
>>79
>・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
ご苦労さまですｗ
ありがと
で、そこな
訂正入れたよ(>>77)
なので
省5
81: 2024/12/01(日)09:32 ID:akzgVyU5(1/2) AAS
全くの蛇足ですが
1）>>76 数研出版 数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より『背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教
科書の説明も同じである．』
と記されている
省35
82: 2024/12/01(日)09:33 ID:akzgVyU5(2/2) AAS
つづき
ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9
2の平方根
無理数であることの証明
有理根定理を用いた方法 （有理根定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86）
√2 の有理数体 Q上の既約多項式 P(x) = x^2 − 2 を用いる。P(x) は有理根をもつと仮定する
それを x = p/q（p, q を互いに素な整数）と表すと、有理根定理より、p は定数項 −2 の約数、q は最高次係数 1 の約数である。
省16
83: 2024/12/02(月)06:49 ID:G2vJSrFx(1) AAS
突然ですが
「ルート２が既約分数 でも ルート２は既約分数ないから、
ルート２は無理数 なのです」
は、完全に解りました＼(^o^)／
ですがァァァ
「ルート２が有理数 ならば ルート２は既約分数だ」
も正しいと思います。 なので
省2
84(1): 2024/12/08(日)22:41 ID:jtqhubKt(1) AAS
>>1
まあほぼほぼ同じかな
P∧(¬Q→¬P)→Q
が背理法
(¬Q→¬P)→(P→Q)
が対偶法
上から下下から上が導出できるし
85(3): 2024/12/08(日)23:49 ID:ynttxdFV(1) AAS
>>84
違うよ >>11より再録
Q 背理法と対偶って違うの？
A 違います
<説明>
・下記の進研ゼミ包含関係 ベン図 「図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということ」
・いま、否定記号 ¬p, ¬q , 補集合を P^-, Q^- とします
省31
86: 2024/12/09(月)00:13 ID:b+51aIH5(1/7) AAS
>>85 補足
・今の話は、古典論理（下記）の中
・直観主義では、背理法は許容されない。
・なお対偶の一部 ”「AならばB」から「BでないならばAでない」は、直観主義論理においても導出可能である”
が、”from ¬Q→¬P to P→Q, requires the law of the excluded middle or an equivalent axiom.”なので 証明法としての対偶証明はダメ（英文ご参照）
ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E8%AB%96%E7%90%86
古典論理（こてんろんり、英: classical logic）は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理（英: standard logic）とも呼ばれる[1][2]。
省28
87(1): 2024/12/09(月)00:33 ID:6A2Om1Cc(1/9) AAS
>>85
ぷ
どちらからもどちらも導出できるのでほぼほぼ同じですよ
88(2): 2024/12/09(月)00:37 ID:6A2Om1Cc(2/9) AAS
直観主義論理ではどちらも証明できませんが
P∧(￢Q→￢P)→Q
と
(￢Q→￢P)→(P→Q)
がお互い導出し合えることは成立します
つまり
(P∧(￢Q→￢P)→Q)→((￢Q→￢P)→(P→Q))
省3
89(1): 2024/12/09(月)00:38 ID:6A2Om1Cc(3/9) AAS
その意味でほぼほぼ同じなのです
90(1): 2024/12/09(月)00:41 ID:6A2Om1Cc(4/9) AAS
実際は直観主義論理さえ必要ではありません
91(1): 2024/12/09(月)00:45 ID:6A2Om1Cc(5/9) AAS
>>85
ベン図のような特定の論理（古典論理）に縛られた思考法はやめるべきでしょうね
92(1): 2024/12/09(月)00:47 ID:6A2Om1Cc(6/9) AAS
同様の理由で真偽値も使わない方がよろしいかと
93(6): 2024/12/09(月)07:58 ID:b+51aIH5(2/7) AAS
>>87-92
ぷ
1）古典論理において、厳然と証明手法として
背理法と対偶法は、存在する
そして、この二つの手法は別もの
この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
省13
94: 2024/12/09(月)08:00 ID:b+51aIH5(3/7) AAS
>>93 タイポ訂正
背理法：p：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
↓
背理法：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
95: 2024/12/09(月)08:02 ID:b+51aIH5(4/7) AAS
>>93 タイポ訂正追加
対偶法とは、このように ロジックとしては等価だが
↓
背理法とは、このように ロジックとしては等価だが
96(4): 2024/12/09(月)08:06 ID:6A2Om1Cc(7/9) AAS
>>93
ぷ
ロジックが同じであることがわかっていないようですね
背理法は P∧(￢Q→￢P)→Q
対偶法は (￢Q→￢P)→(P→Q)
これらが同等であることは古典論理でも直観主義論理でも爆発律のない最小論理でも証明されますから
使っているロジックに変わりはないのです
97(1): 2024/12/09(月)08:08 ID:6A2Om1Cc(8/9) AAS
同等性の証明は→∧の定義とMPだけでできますから
非常に素朴な意味で同等なのです
98(1): 2024/12/09(月)08:10 ID:6A2Om1Cc(9/9) AAS
まあ論理を語るのにベン図と真偽値で語ろうとしているのも
非常に素朴な意味でアレですけどね
99: 2024/12/09(月)08:11 ID:b+51aIH5(5/7) AAS
>>93 タイポ訂正追加の追加
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、¬p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
↓
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
100(3): 2024/12/09(月)08:16 ID:b+51aIH5(6/7) AAS
>>96-98
ぷ
間違っている
まあ、それは棚上げして
証明手法として
・普通の証明（P→Q）
・対偶法
省7
101: 2024/12/09(月)08:42 ID:l8/SbiYA(1) AAS
《∀と∃記号を使ってみたぁぁぁ。》
今閃いたた対偶法による
√2は有理数である事の証明モドキ だ
∀xが既約分数 ⇒ ∃「xの二乗は2」
が証明されちゃったら、
√2は有理数である事の証明だぜ
14142・・・/10000・・・
省2
102: 2024/12/09(月)09:22 ID:I6+/22Nc(1/4) AAS
>>100
背理法と対偶法はほぼほぼ同じロジックなので
実際に証明に使う場合の難易度もほぼほぼ同じなんですよ
お好みでお使いください
103: 2024/12/09(月)09:23 ID:I6+/22Nc(2/4) AAS
>>100
>間違っている
何が間違っているかも指摘できないんですね>間違っている
私はなぜほぼほぼ同じなのか説明しましたよ>>88
104: 2024/12/09(月)11:15 ID:I6+/22Nc(3/4) AAS
ベン図や真偽値を使っているうちは
証明手法のお互いの関係について
云々するのはまだ早いと言えましょう
105: 2024/12/09(月)11:28 ID:I6+/22Nc(4/4) AAS
>>93
>命題：実数 x^2=2→xは無理数である
> p：実数 x^2=2、q：xは無理数
> さて
> 対偶法：xは有理数→x^2≠2
このあとx^2=2とするとと背理法を使うんですよね？
> 背理法：p：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
省1
106: 2024/12/09(月)15:08 ID:ZgvV7emO(1) AAS
ZFCスレで負けた犬が
背理法スレで吠える
存在例化も知らん犬コロが
107(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/09(月)20:31 ID:b+51aIH5(7/7) AAS
ふっふ、ほっほ
>>93より 訂正再投稿
1）古典論理において、厳然と証明手法として
背理法と対偶法は、存在する
そして、この二つの手法は別もの
この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
省36
108(1): 2024/12/10(火)09:26 ID:F0+otgd+(1) AAS
pu (*sigh*)
まあ正しいものの考え方をすべきですよ
背理法と対偶法は思考のロジックとして
ほぼほぼ同じ内容です>>96
どちらでも好きな方を使えば良いのですよ
109(3): 2024/12/10(火)10:52 ID:ytuvmVUS(1/5) AAS
>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96
あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
>>107より
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
省43
110: 2024/12/10(火)10:56 ID:ytuvmVUS(2/5) AAS
>>109 タイポ訂正
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
↓
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直接示すには、大理論を持ちだすしかない
111: 2024/12/10(火)11:11 ID:ytuvmVUS(3/5) AAS
>>109 補足
>なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
>典型例が、連分数の理論です
補足しておきます
下記 無理数 で、無理数判定法があります
なので、√2が無限連分数表示を持つことから、下記の無理数判定法に持ち込んで
『√2は無理数』を示すのが、大学学部レベルの一つの直接証明法でしょう
省27
112: 2024/12/10(火)11:42 ID:ytuvmVUS(4/5) AAS
AA省
113(1): 2024/12/10(火)13:45 ID:GRRjq4ID(1) AAS
無理数は、無限小数（非循環小数） との話ありがとう
この対偶をとると
無限小数かつ循環小数 または 有限小数 は、
有理数 って事だ。
てか、対偶は長文になって分かりづらい
無限小数でも循環小数なら有理数 かつ
循環小数なら有理数
省1
114: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/12/10(火)16:00 ID:ytuvmVUS(5/5) AAS
>>113
>無理数は、無限小数（非循環小数） との話ありがとう
>この対偶をとると
>無限小数かつ循環小数 または 有限小数 は、
>有理数 って事だ。
ご苦労様です
同意です
省14
115(1): 2024/12/10(火)19:27 ID:VYgOxHHf(1) AAS
>>109
>あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
pu (*sigh*)
数学の思考法が常に緻密だというのは誤解でしょうよ
証明蜂蜜でなくてはいけないでしょうが（それも怪しいですが）
試行錯誤の段階では柔軟に考えるのが数学です
背理法と対偶法は思考のロジックとしてほぼほぼ同じ内容なのですから>>96
省1
116: 2024/12/11(水)06:07 ID:IhhbssW7(1) AAS
ホッホホー、大きくなれよ。
117: 2024/12/11(水)08:43 ID:BYfV7guB(1) AAS
>>115
ほっともっと は
記載された「証明」が証明の要件を満たしているかどうかの検査 と
そもそも証明を探索する手続き の
違いを理解してないんですよ
証明探索の効率的な方法なんてありゃしません
ゲーデルの完全性定理によれば、命題が証明可能なら、必ずその証明を見つけ出す手続きが存在しますが
省4
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