背理法と対偶って違うの？

背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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109: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火) 10:52:05.50 ID:ytuvmVUS

>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96

あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）

>>107より
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法 (間接法)
3)背理法 (間接法)
となります

対偶法と背理法とは、同じ間接法に分類されます
古典論理で
１）直接法 P→Q
２）対偶法 ￢Q→￢P
３）背理法 ￢Q⋀P→空(矛盾) (集合では￢Q ⋂ P＝Φ(空集合))

少し補足しましょうね >>107より
いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数

これを、直接法 p→q を示そうとするとき
出発点で使える条件は、”x^2=2” のみ
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
典型例が、連分数の理論です

連分数の理論で、√2が無限に循環する連分数表示を持つことが分かる（下記）
よって、√2は無理数である （”無限連分数が無理数である”ことは、既知として）■

一方、背理法ならば ￢q⋀p→空(矛盾) を示せばいいので
￢q：xは有理数 x＝a/b (a/bは既約分数)
p： x^2=2

つまり、二つの条件 x＝a/b と x^2=2 とが使える利点があります （頻出なので、後は略す）

さて、対偶法です
￢q：x＝a/b → p： x^2≠2
となります
￢q → p： x^2≠2
を示すときに、”x^2≠2”がこのままでは まずい
よって、この対偶命題に 背理法を適用します

そうすると (￢q：x＝a/b) ⋀ (p：x^2=2)→空(矛盾)
とできて、これは 最初の命題 P→Q に対する背理法と 一致します！ （＾＾

なので、”√2が無理数であることの証明”では、背理法が一番簡単
直接法は、連分数の理論など大理論が必要
対偶法は、結局は 背理法 に持ち込むことになるでしょう

これが結論ですｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。

2の平方根
√2＝略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/109

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