背理法と対偶って違うの？

背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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107: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/09(月) 20:31:40.47 ID:b+51aIH5

ふっふ、ほっほ

>>93より 訂正再投稿
1）古典論理において、厳然と証明手法として
　背理法と対偶法は、存在する
　そして、この二つの手法は別もの
　この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
　命題：実数 x^2=2→xは無理数である
　p：実数 x^2=2、q：xは無理数
　さて
　対偶法：xは有理数→x^2≠2
　背理法：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
3）具体的な背理法証明は、頻出なので略す
　ここで、q：xは無理数 を考えるより、￢q：xは有理数 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
　また、対偶法の ￢p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
　背理法とは、このように ロジックとしては等価だが
　p,q をマトモニ考えるよりも、その否定 ￢p,￢q を考える方が、証明戦略として楽な場合があるってことですよ
　対偶法も同様のことです

どの組合せが良いか？
それは、具体的な証明すべき命題で決まる

>>100について
訂正再投稿
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法
3)背理法
補足
対偶法と背理法とは、間接証明とかいうそうですね

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/24/2/24_25/_pdf/-char/ja
全国数学教育学会誌 数学教育学研究第24巻第2号2018 pp.25〜36
間接証明の構造の理解に関する研究 −理解の様相を捉える枠組みの構成一
広島大学大学院 教育学研究科 院生 浦山大貴

＜ちょっと妖しいが・・ｗ (＾＾；＞
exam-strategy.jp/archives/1321
敬天塾 2024年8月27日
背理法と対偶命題の証明法は、どのように使い分けるのか

背理法と対偶命題の証明法の使い分けは（基本編）
では、やっとですが背理法と対偶命題の証明法の使い分けに行きましょう。
基本的には、
断定型の命題を否定しながら証明する時は、背理法
推論型の命題を否定しながら証明する時は、対偶命題の証明法
と使い分けます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/107

109: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火) 10:52:05.50 ID:ytuvmVUS

>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96

あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）

>>107より
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法 (間接法)
3)背理法 (間接法)
となります

対偶法と背理法とは、同じ間接法に分類されます
古典論理で
１）直接法 P→Q
２）対偶法 ￢Q→￢P
３）背理法 ￢Q⋀P→空(矛盾) (集合では￢Q ⋂ P＝Φ(空集合))

少し補足しましょうね >>107より
いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数

これを、直接法 p→q を示そうとするとき
出発点で使える条件は、”x^2=2” のみ
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
典型例が、連分数の理論です

連分数の理論で、√2が無限に循環する連分数表示を持つことが分かる（下記）
よって、√2は無理数である （”無限連分数が無理数である”ことは、既知として）■

一方、背理法ならば ￢q⋀p→空(矛盾) を示せばいいので
￢q：xは有理数 x＝a/b (a/bは既約分数)
p： x^2=2

つまり、二つの条件 x＝a/b と x^2=2 とが使える利点があります （頻出なので、後は略す）

さて、対偶法です
￢q：x＝a/b → p： x^2≠2
となります
￢q → p： x^2≠2
を示すときに、”x^2≠2”がこのままでは まずい
よって、この対偶命題に 背理法を適用します

そうすると (￢q：x＝a/b) ⋀ (p：x^2=2)→空(矛盾)
とできて、これは 最初の命題 P→Q に対する背理法と 一致します！ （＾＾

なので、”√2が無理数であることの証明”では、背理法が一番簡単
直接法は、連分数の理論など大理論が必要
対偶法は、結局は 背理法 に持ち込むことになるでしょう

これが結論ですｗ

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。

様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。

2の平方根
√2＝略す

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/109

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