背理法と対偶って違うの？

背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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86: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月) 00:13:42.57 ID:b+51aIH5

>>85 補足

・今の話は、古典論理（下記）の中
・直観主義では、背理法は許容されない。
・なお対偶の一部 ”「AならばB」から「BでないならばAでない」は、直観主義論理においても導出可能である”
　が、”from ¬Q→¬P to P→Q, requires the law of the excluded middle or an equivalent axiom.”なので 証明法としての対偶証明はダメ（英文ご参照）

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E8%AB%96%E7%90%86
古典論理（こてんろんり、英: classical logic）は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理（英: standard logic）とも呼ばれる[1][2]。

特徴
以下に示す性質が特徴である:[3]
1.排中律の採用及び、二重否定の除去;
以下略す

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6)
直観主義 (数学の哲学)
来歴と評価
ブラウワーは、数学的概念とは数学者の精神の産物であり、その存在はその構成によって示されるべきだという立場から、無限集合において背理法によって非存在の矛盾から存在を示す証明を認めなかった。それゆえ、無限集合において「排中律」、すなわちある命題は真であるか偽であるかのどちらかであるという推論法則を捨てるべきだと主張し、ヒルベルトとの間に有名な論争を引き起こした。 ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に対し排中律を守り、数学の無矛盾性を示すためのものと考えることができる[1]。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%81%B6_(%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6)
対偶 (論理学)
対偶（たいぐう、英: Contraposition）とは、「AならばB」という形式の命題に対して、その命題の仮定と結論をそれぞれその否定に置き換えた上で両者を入れ替えた命題のことをいう。
定義
略す
通常の数学では古典論理を用いるため、命題「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽および証明可能性は必ず一致する (すなわち真理値が等しい）。

直観主義論理における扱い
上述の対偶の性質は古典論理におけるそれであり、非古典論理においては成立しない場合がある。例えば直観主義論理においては、必ずしも「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽は一致しない。

直観主義論理の特徴として、排中律の不成立（あるいは二重否定の除去の制限）があげられるが、対偶の性質はこの制限の影響を受け成立しない。なお「AならばB」から「BでないならばAでない」は、直観主義論理においても導出可能である。

en.wikipedia.org/wiki/Contraposition
Contraposition
In nonclassical logics
Intuitionistic logic
In intuitionistic logic, the statement
P→Q cannot be proven to be equivalent to
¬Q→¬P.
We can prove that
P→Q implies
¬Q→¬P (see below), but the reverse implication,
from ¬Q→¬P to P→Q, requires the law of the excluded middle or an equivalent axiom.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/86

107: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/12/09(月) 20:31:40.47 ID:b+51aIH5

ふっふ、ほっほ

>>93より 訂正再投稿
1）古典論理において、厳然と証明手法として
　背理法と対偶法は、存在する
　そして、この二つの手法は別もの
　この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
　命題：実数 x^2=2→xは無理数である
　p：実数 x^2=2、q：xは無理数
　さて
　対偶法：xは有理数→x^2≠2
　背理法：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
3）具体的な背理法証明は、頻出なので略す
　ここで、q：xは無理数 を考えるより、￢q：xは有理数 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
　また、対偶法の ￢p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
　背理法とは、このように ロジックとしては等価だが
　p,q をマトモニ考えるよりも、その否定 ￢p,￢q を考える方が、証明戦略として楽な場合があるってことですよ
　対偶法も同様のことです

どの組合せが良いか？
それは、具体的な証明すべき命題で決まる

>>100について
訂正再投稿
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法
3)背理法
補足
対偶法と背理法とは、間接証明とかいうそうですね

(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/24/2/24_25/_pdf/-char/ja
全国数学教育学会誌 数学教育学研究第24巻第2号2018 pp.25〜36
間接証明の構造の理解に関する研究 −理解の様相を捉える枠組みの構成一
広島大学大学院 教育学研究科 院生 浦山大貴

＜ちょっと妖しいが・・ｗ (＾＾；＞
exam-strategy.jp/archives/1321
敬天塾 2024年8月27日
背理法と対偶命題の証明法は、どのように使い分けるのか

背理法と対偶命題の証明法の使い分けは（基本編）
では、やっとですが背理法と対偶命題の証明法の使い分けに行きましょう。
基本的には、
断定型の命題を否定しながら証明する時は、背理法
推論型の命題を否定しながら証明する時は、対偶命題の証明法
と使い分けます。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/107

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