背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
背理法と対偶って違うの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/
上
下
前次
1-
新
通常表示
512ﾊﾞｲﾄ分割
ﾚｽ栞
抽出解除
必死ﾁｪｯｶｰ(本家)
(べ)
自ID
ﾚｽ栞
あぼーん
81: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/01(日) 09:32:35.32 ID:akzgVyU5 全くの蛇足ですが 1）>>76 数研出版 数研通信 3号 背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校 より『背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの 教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教 科書の説明も同じである．』 と記されている 2）しかしながら、>>77に記したように ・命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q ・対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す） ・背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合） とすべき 3）『√2が無理数であることの証明の背理法の構造 命題 p→q に当て嵌めすると p：√2は、x^2=2となる 正の実数 q：x=√2 は 無理数』 『対偶 q^- → p^- の背理法で q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない) を導くことが閃く （これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）』 『そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数 から、x=a/b (既約分数)とおけて あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ 背理法証明の完成です』 4）さて、証明論として a)直接法：p→q ベン図ではP ⊂ Q b)間接法の対偶法 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す） c)間接法の背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合） となるが 学部レベルの簡単な定理では、このa)〜c) が当てはまる場合が多い しかし、難しい定理 あるいは xx予想 と呼ばれる命題は、こういう単純パターンに乗らないものがある 例えば、”√2が無理数であることの証明”で、循環する無限連分数で表現できることを使える（下記） （なお、ja.wikipedia 2の平方根もご参照） (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0 連分数 様々な数の連分数展開 下線部はそれぞれの循環節。 2の平方根 （√2は、循環する無限連分数） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/81
82: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/01(日) 09:33:16.54 ID:akzgVyU5 つづき ja.wikipedia.org/wiki/2%E3%81%AE%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9 2の平方根 無理数であることの証明 有理根定理を用いた方法 （有理根定理 ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E7%90%86%E6%A0%B9%E5%AE%9A%E7%90%86） √2 の有理数体 Q上の既約多項式 P(x) = x^2 − 2 を用いる。P(x) は有理根をもつと仮定する それを x = p/q（p, q を互いに素な整数）と表すと、有理根定理より、p は定数項 −2 の約数、q は最高次係数 1 の約数である。 ゆえに P(x) の根 √2 は整数または無理数である 2 は平方数でないから、√2 は整数ではない。ゆえに、√2 は無理数である。■ (注：これ、『P(x) は有理根をもつと仮定する』としているので、背理法の一種ですよ) この証明は √2 に限らず一般化して、平方数でない自然数の平方根の無理性を示すことにも使える。 背理法 背理法（無限降下法）を用いた証明を以下に示す。 略す 素因数分解の一意性を用いた方法 略す 背理法を使わない方法 背理法を用いずに証明することができる ただし、その構想には、背理法による証明過程における、矛盾の発生した点から論理を始めるという点で、直観的ではなく、きわめて形式的である。 （注：背理法被害者の証明法） 略す (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/82
ﾒﾓ帳
(0/65535文字)
上
下
前次
1-
新
書
関
写
板
覧
索
設
栞
歴
ｽﾚ情報
赤ﾚｽ抽出
画像ﾚｽ抽出
歴の未読ｽﾚ
AAｻﾑﾈｲﾙ
Google検索
Wikipedia
ぬこの手
ぬこTOP
0.847s*