背理法と対偶って違うの? (117レス)
背理法と対偶って違うの? http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/
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74: 132人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 08:21:26.11 ID:9Sqq12HI >>68 追加 www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/stusin_backnum.html 数研出版 数研通信(1号〜50号) 【教授用資料】 3号 背理法の定義について(塩見浩三)見る[102KB] ですが、発行年が不明 1号 行列の指導について(猪熊正雄)見る[383KB] の記事から、1号が1985年以降と推察できる また、36号 1999年12月、37号 2000年4月 などとあるので、4〜5ヶ月に一回の発行と思われ 1年に3回とすれば、1号は 1990年ころかもしれない 5号 高等学校数学科の学習指導要領(案)について見る[123KB] が、平成6年度より実施される高等学校数学科の学習指導要領案について とあるので、この記事は平成5年 つまり、1993年か とすれば、3号は 1993年か1992年かも http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/74
75: 132人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 08:24:17.23 ID:9Sqq12HI >>69-73 ご苦労さまですw http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/75
76: 132人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 08:44:42.75 ID:9Sqq12HI >>74 追加 数研出版 数研通信 3号 背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校 より (引用開始) 数研出版の「数学I」の教科書では106頁に,√2 が無理数であることの証明を例にして 背理法”とは「ある事柄を証明するのに,まず その事柄が成り立たないと仮定して矛盾を導き, それによって事柄の成り立つことを証明する方 法」である. と書いています. また,他の参考書には,”背理法〃とは「証明すべ き結論を否定して論理を進めていき,与えられた条 件と対立する結論を導き出して矛盾(不合理)を示 す一つの証明方法である」と書いています. 対偶については,186頁に 1命題の真偽は,その対偶の真偽と一致する. 2命題 p→qが真であることを示すために, その対偶q^- → p^-が真であることを示し てもよい. と書いています. (注: p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様) 背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの 教科書,参考書の書き方である.上の数研出版の教 科書の説明も同じである. しかし,参考書は,対偶法の説明を背理法と考え ている. どちらも間違いではないが,定義がどうもあいま いで,生徒にとって(先生自身にとっても)すっき りしない説明に終わっているのが現状ではないだろ うか? 背理法とは,AもB^-も仮定として用いて理論 を進め,他の真理(公理,定理,定義)に矛盾する ことを引き出す証明法であり,対偶法とはB^-のみ を仮定として理論を進めて,A^-を導く証明法であ る. (引用終り) 思うに、塩見浩三氏が書いているように ”背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの 教科書,参考書の書き方である” ”参考書は,対偶法の説明を背理法と考え ている.” で、 ”定義がどうもあいま いで,生徒にとって(先生自身にとっても)すっき りしない説明に終わっているのが現状ではないだろ うか?”(塩見)でしょうw ;p) だから>>1 "背理法と対偶って違うの? 同じじゃないの?" となるのだろう やれやれ そこから間違いを正していかないとなると 大変だよ〜ww ;p) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/76
77: 132人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 09:47:46.38 ID:9Sqq12HI >>66 タイポ訂正 背理法は、 ・命題の論理で 「Q & Pの否定 → 矛盾」です ↓ 背理法は、 ・命題の論理で 「P & Qの否定 → 矛盾」です さて >>76 つづき 数研通信 3号 背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校 より (当時の)数研出版の「数学I」の教科書で 対偶については,186頁に 1命題の真偽は,その対偶の真偽と一致する. 2命題 p→qが真であることを示すために, その対偶q^- → p^-が真であることを示し てもよい. と書いています. (注: p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様) (引用終り) つまり 1)命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q 対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c (P^c 、Q^c は補集合を表す) と教えている 2)そう教えるならば、その流れで 背理法 qの否定(q^-) & p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c=Φ(空集合) とするべき 「証明すべき結論(上記のq)を否定して論理を進めていき」とするのが正 「ある事柄を証明するのに,まず その事柄が成り立たないと仮定して」は誤 ”その事柄が成り立たない”などと、あいまい表現がよくない ”命題 p→q ”としたら、命題の否定とは 結論qの否定とすべき さて、√2が無理数であることの証明の背理法の構造 命題 p→q に当て嵌めすると p:√2は、x^2=2となる 正の実数 q:x=√2 は 無理数 さて、愚直に p→q を考えるとすると 簡単にいえば これは、pから出発して 三段論法で ギャップなく qに到達すること しかし、”q:√2 は、無理数”が曖昧だ。そこで 背理法の出番になる 分かり易く 背理法の前に、対偶法を考えよう q^- :x=√2 は 有理数 p^-:x^2=2 以外の (正の)実数 と書ける ここで、”x^2=2 以外の (正の)実数”が数学的には使いづらいので 対偶 q^- → p^- の背理法で q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない) を導くことが閃く (これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) & p”と同じであることを注意しておく) つまり、”x^2=2 以外の (正の)実数” よりも ”√2は、x^2=2となる (正の)実数” が、圧倒的に使いやすい そうやって、q^- :x=√2 は 有理数 から、x=a/b (既約分数)とおけて あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ 背理法証明の完成です ”あり得ない”が、集合で空集合Φ に対応している http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/77
78: 132人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 10:08:33.08 ID:9Sqq12HI >>77 つづき √2が無理数であることの証明の背理法の構造 を分析してみよう 命題 p→q p:√2は、x^2=2となる 正の実数 q:x=√2 は 無理数 ここで、q:x=√2 は 無理数 が、使いづらい つまり、実数R で 有理数Q は定義が明確で分かり易い 一方 無理数は 実数R中の有理数Qでないものという定義だ なので q^- :x=√2 は 有理数 を使いたい 対偶法と背理法が考えられる 対偶法では p^-:x^2=2 以外の (正の)実数 が出てくる これも使いづらい p:√2は、x^2=2となる 正の実数 の方がスッキリ だから、「q^- :x=√2 は 有理数」と「p:√2は、x^2=2となる 正の実数」の組合せ 背理法による証明がベストなのだ これを一般化しておくと 命題 p→q の証明で qの部分が あいまいで使いづらいときに qの否定(q^- )を考えると 良い場合がある このとき、対偶法と背理法が考えられる 対偶法で、pの否定 p^- が使いやすければ 対偶法でも可 しかし、上記の例のように pの否定 p^- が使いにくいときがある そのときは、pとq^- の組合せの 背理法が良いってこと 上記 ”√2が無理数であること”の証明事例は 背理法による証明がベストです!! http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/78
80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/11/30(土) 14:08:31.59 ID:9Sqq12HI >>79 >・命題の論理で 「Q & Pの否定 → 矛盾」です ご苦労さまですw ありがと で、そこな 訂正入れたよ(>>77) なので ・命題の論理で 「Q & Pの否定 → 矛盾」 ↓ ・命題の論理で 「P & Qの否定 → 矛盾」 だ 重箱の隅だが (^^ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/80
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